ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 714: Метод координат в пространстве

План решения.

Так как лучи OA, OB и OC образуют три прямых угла, их можно принять за оси координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке O. Направим ось x вдоль луча OA, ось y вдоль луча OB и ось z вдоль луча OC. Тогда единичные векторы этих лучей будут иметь координаты: i=(1;0;0) для OA, j=(0;1;0) для OB и k=(0;0;1) для OC.

Вычисление.

Найдём направления биссектрис углов COA и AOB.

1. Угол COA образован лучами OC и OA. Биссектриса этого угла лежит в плоскости XOZ и делит прямой угол пополам. Её направляющий вектор b₁ является суммой единичных векторов сторон угла: b₁=k+i=(0;0;1)+(1;0;0)=(1;0;1)
2. Угол AOB образован лучами OA и OB. Биссектриса этого угла лежит в плоскости XOY и также делит прямой угол пополам. Её направляющий вектор b₂ равен сумме единичных векторов сторон: b₂=i+j=(1;0;0)+(0;1;0)=(1;1;0)

Теперь найдём косинус угла φ между векторами b₁ и b₂ по формуле скалярного произведения:

Скалярное произведение: b₁·b₂=1·1+0·1+1·0=1

Длины векторов: |b₁|=1²+0²+1²=2 |b₂|=1²+1²+0²=2

Подставим значения в формулу косинуса: cosφ=1/2·2=1/2

Так как cosφ=1/2, то угол φ=60^°.

Проверка.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию. Если отложить на всех трёх лучах равные отрезки длины a, то концы биссектрис (если брать точки на расстоянии a2 от начала или просто рассмотреть треугольник, образованный точками на лучах) формируют правильный треугольник. Точки M(1;0;1) и N(1;1;0) находятся на одинаковом расстоянии от начала координат (2). Расстояние между ними равно (1-1)²+(0-1)²+(1-0)²=2. Треугольник OMN имеет стороны OM=2, ON=2, MN=2, следовательно, он равносторонний, а угол при вершине O равен 60^°. Результат совпадает с вычислениями.