ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 710: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 центр грани ABCD обозначен точкой N, точка M лежит на ребре A_1D_1 так, что отрезок A_1M относится к MD_1 как 1 к 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани
а) ABCD
б) DD_1C_1C
в) AA_1D_1D.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно a. Для удобства вычислений примем a=5 (так как отношение отрезков на ребре 1:4, это позволит избежать дробей). Расположим начало координат в точке D(0;0;0). Оси направим так: DA вдоль оси Ox, DC вдоль оси Oy, DD1 вдоль оси Oz.
Определим координаты ключевых точек:
- Точка N — центр грани ABCD. Координаты вершин грани: A(5;0;0), B(5;5;0), C(0;5;0), D(0;0;0). Центр квадрата находится в середине диагонали AC или BD. Следовательно, N(2.5;2.5;0).
- Точка M лежит на ребре A1D1. Вершины верхнего основания: A1(5;0;5), D1(0;0;5). По условию A1M:MD1=1:4. Это значит, что точка M делит отрезок A1D1 в отношении 1:4, считая от точки A1. Длина ребра A1D1 равна 5. Отрезок A1M=1, а MD1=4. Поскольку M лежит на прямой x-оси (в плоскости z=5,y=0), её координата x будет отличаться от координаты A1 (x=5) на длину A1M в сторону уменьшения к D1 (x=0). Таким образом, xM=5-1=4. Координаты точки M: (4;0;5).
Найдем вектор MN, соединяющий эти точки: MN=(xN-xM;yN-yM;zN-zM)=(2.5-4;2.5-0;0-5)=(-1.5;2.5;-5) Для упрощения расчетов умножим компоненты вектора на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей (направление не изменится): v=(-3;5;-10) Длина этого вектора: |v|=(-3)2+52+(-10)2=9+25+100=134
а) Синус угла с плоскостью ABCD
Плоскость ABCD совпадает с плоскостью xy (z=0). Нормальный вектор этой плоскости n1=(0;0;1). Синус угла θ между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости: sinθa=|v·n1|/|v|·|n1|=|-3·0+5·0+(-10)·1|/134·1=|-10|/134=10/134
б) Синус угла с плоскостью DD1C1C
Плоскость DD1C1C совпадает с плоскостью yz (x=0). Нормальный вектор этой плоскости n2=(1;0;0). sinθb=|v·n2|/|v|·|n2|=|-3·1+5·0+(-10)·0|/134·1=|-3|/134=3/134
в) Синус угла с плоскостью AA1D1D
Плоскость AA1D1D совпадает с плоскостью xz (y=0). Нормальный вектор этой плоскости n3=(0;1;0). sinθc=|v·n3|/|v|·|n3|=|-3·0+5·1+(-10)·0|/134·1=|5|/134=5/134
а) 10/134
б) 3/134
в) 5/134
Введено ребро куба a=5 для целочисленных координат точки M. Вектор MN найден корректно. Формула синуса угла между прямой и плоскостью через скалярное произведение с нормалью применена верно.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 710 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 710?
Краткий ответ: а) 10√134; б) 3√134; в) 5√134.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.