ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 706: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Дана правильная треугольная призма ABCA_1B_1C_1, в которой AA1=2AB (рис. 193, а). Найдите угол между прямыми AC_1 и A_1B.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми AC1 и A1B в правильной треугольной призме удобно использовать метод координат. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы начало отсчета совпадало с одной из вершин основания, а оси были направлены вдоль ребер или высот основания. Затем найдем координаты концов векторов, соответствующих данным прямым, вычислим их скалярное произведение и модули, после чего определим косинус угла между ними.
Вычисление.
Пусть сторона основания призмы равна a, то есть AB=BC=CA=a. По условию высота призмы AA1=2a. Разместим начало координат в точке A. Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oz — вдоль бокового ребра AA1. Ось Oy направим перпендикулярно AB в плоскости основания ABC. Координаты вершин: A(0;0;0) B(a;0;0) Так как основание — правильный треугольник со стороной a, то проекция точки C на ось Ox равна a/2, а длина высоты треугольника равна a3/2. Следовательно, C(a/2;a3/2;0). Вершины верхнего основания получаются прибавлением высоты h=2a к z-координате соответствующих нижних вершин: A1(0;0;2a) C1(a/2;a3/2;2a) Найдем координаты векторов, задающих прямые: Вектор AC1 имеет координаты: (a/2-0;a3/2-0;2a-0)=(a/2;a3/2;2a). Вектор A1B имеет координаты: (a-0;0-0;0-2a)=(a;0;-2a). Вычислим скалярное произведение этих векторов: AC1·A1B=a/2·a+a3/2·0+2a·(-2a)=a2/2-2a2=-3a2/2 Вычислим длины (модули) векторов: |AC1|=(a/2)2+(a3/2)2+(2a)2=a2/4+3a2/4+2a2=a2+2a2=3a2=a3 |A1B|=a2+02+(-2a)2=a2+2a2=3a2=a3 Косинус угла φ между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами: cosφ=|AC1·A1B|/|AC1|·|A1B|=|-3a2/2|/a3·a3=3a2/2/3a2=3a2/2·1/3a2=1/2 Так как cosφ=1/2, то угол φ=60°.
Проверка.
Результат не зависит от размера призмы (параметр a сократился), что логично для задачи на углы. Значение косинуса 1/2 соответствует углу 60°, который является допустимым значением для угла между прямыми (диапазон [0°;90°]). Вычисления модулей векторов подтверждают, что диагональ боковой грани (A1B) и пространственная диагональ (AC1) имеют одинаковую длину a3, что согласуется с геометрическими свойствами данной призмы при высоте 2a.
60°
Использован метод координат. Введена система координат с началом в точке A. Найдены координаты точек C1 и B, затем векторы AC1 и A1B. Рассчитано скалярное произведение и модули векторов. Косинус угла между прямыми равен 1/2, следовательно, угол равен 60 градусов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 706 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 706?
Краткий ответ: 60°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.