ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 702: Метод координат в пространстве

План решения. Для доказательства перпендикулярности векторов MN к рёбрам AD и BC удобно использовать метод координат или разложение по базису. Поскольку все рёбра тетраэдра равны, он является правильным. Выберем в качестве базиса три вектора, исходящие из одной вершины, например, DA=a, DB=b, DC=c. Обозначим длину ребра за k. Тогда модули всех базисных векторов равны k, а скалярные произведения любых двух различных базисных векторов равны k²cos(60^°)=k²/2. Выражение векторов через базис. Точка M — середина ребра AD. Вектор DM можно выразить как половину вектора DA: DM=1/2a Точка N — середина ребра BC. Чтобы найти вектор DN, воспользуемся тем, что N лежит на отрезке BC. По правилу параллелограмма (или формуле для середины отрезка): DN=1/2(DB+DC)=1/2(b+c) Теперь найдём вектор MN: MN=DN-DM=1/2(b+c)-1/2a=1/2(b+c-a) Векторы рёбер, с которыми нужно проверить скалярное произведение: AD=-DA=-a. BC=DC-DB=c-b. Доказательство равенства нулю скалярных произведений. 1. Проверим произведение MN·AD: MN·AD=[1/2(b+c-a)]·(-a)=-1/2(b·a+c·a-a·a) Подставим значения скалярных произведений (a²=k², a·b=a·c=k²/2): MN·AD=-1/2(k²/2+k²/2-k²)=-1/2(k²-k²)=0 Следовательно, MN⊥AD. 2. Проверим произведение MN·BC: MN·BC=[1/2(b+c-a)]·(c-b)=1/2(b+c-a)·(c-b) Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (x+y)(x-y)=x²-y² для первых двух членов и распределительный закон для третьего: (b+c)·(c-b)=c²-b²=k²-k²=0 Остаётся член с -a: -a·(c-b)=-(a·c-a·b)=-(k²/2-k²/2)=0 Таким образом, всё выражение равно нулю: MN·BC=1/2(0+0)=0 Следовательно, MN⊥BC. Проверка. Мы использовали только свойства правильного тетраэдра (равенство длин рёбер и углов между ними 60^°). Алгебраические преобразования корректны. Полученные нулевые скалярные произведения подтверждают перпендикулярность скрещивающихся прямых MN к рёбрам AD и BC.