10–11 классы Метод координат в пространстве § 3. Метод координат в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 701: Метод координат в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Артём Савельев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 700 702 →

Условие

Докажите, что координаты ненулевого вектора a в прямоугольной системе координат равны {|a| cos φ₁; |a| cos φ₂; |a| cos φ₃}, где φ₁ — угол между вектором a и осью Ox (вектором i), φ₂ — с осью Oy (вектором j), φ₃ — с осью Oz (вектором k).OBA40°Угол

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План доказательства.

Для доказательства утверждения воспользуемся определением скалярного произведения векторов и геометрическим смыслом проекции. Координата вектора в прямоугольной системе координат равна его скалярному произведению на соответствующий единичный базисный вектор (i,j,k). Также вспомним формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами через их скалярное произведение.

Вычисление координат.

Пусть дан ненулевой вектор a. Обозначим его координаты как (x;y;z). По определению, первая координата x равна проекции вектора a на ось Ox, что можно записать через скалярное произведение с единичным вектором i:

x=a·i

Вспомним определение скалярного произведения: u·v=|u||v|cosφ, где φ — угол между векторами. Применим это к нашему случаю, учитывая, что длина единичного вектора |i|=1, а угол между a и i равен φ₁:

x=|a|·|i|·cosφ₁=|a|·1·cosφ₁=|a|cosφ₁

Аналогично поступаем для второй и третьей координат. Вторая координата y равна скалярному произведению a·j. Угол между a и j равен φ₂, а |j|=1:

y=a·j=|a|·|j|·cosφ₂=|a|cosφ₂

Третья координата z равна скалярному произведению a·k. Угол между a и k равен φ₃, а |k|=1:

z=a·k=|a|·|k|·cosφ₃=|a|cosφ₃

Проверка и вывод.

Мы получили выражения для каждой из трех координат вектора a: x=|a|cosφ₁, y=|a|cosφ₂, z=|a|cosφ₃. Таким образом, координаты вектора действительно имеют вид {|a|cosφ₁;|a|cosφ₂;|a|cosφ₃}. Величины cosφ_1,cosφ_2,cosφ₃ называются направляющими косинусами вектора. Доказательство завершено.

Ответ

Доказано: x=|a|cosφ₁, y=|a|cosφ₂, z=|a|cosφ₃

Использовано определение координат через скалярное произведение с базисными векторами и формула скалярного произведения.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 701 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 701?

Краткий ответ: Доказано: x=|a|cosφ₁, y=|a|cosφ₂, z=|a|cosφ₃.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.