ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 708: Метод координат в пространстве

План решения.

Для нахождения углов между скрещивающимися прямыми в пространстве удобно использовать метод координат. Введём прямоугольную систему координат с началом в точке D. Оси направим вдоль рёбер параллелепипеда: ось Ox — вдоль DA, ось Oy — вдоль DC, ось Oz — вдоль DD₁. Пусть длина стороны основания AB=BC=a. Тогда боковое ребро AA₁=DD₁=2a. Запишем координаты всех необходимых вершин и найдём векторы, задающие направления прямых. Угол между прямыми равен углу между этими векторами (или его дополнению до 180^°, если косинус отрицательный, так как угол между прямыми берётся острым или прямым).

Вычисление.

Координаты вершин:

• D(0;0;0)
• A(a;0;0)
• C(0;a;0)
• B(a;a;0)
• D₁(0;0;2a)
• C₁(0;a;2a)
• A₁(a;0;2a)

а) Угол между прямыми BD и CD₁.

Найдём координаты векторов, лежащих на этих прямых:

Вычислим скалярное произведение векторов:

Длины векторов:

Косинус угла φ между векторами:

Так как косинус отрицательный, угол между векторами тупой. Угол между прямыми всегда острый (или прямой), поэтому он равен α=180^°-φ, и его косинус равен модулю полученного значения:

б) Угол между прямыми AC и AC₁.

Эти прямые пересекаются в точке A, поэтому угол между ними — это просто угол треугольника ACC₁ при вершине A. Найдём векторы:

Скалярное произведение:

Длины векторов:

Косинус угла β:

Примечание к пункту б): Проверим условие задачи. Прямые AC и AC₁ проходят через одну точку A. В треугольнике ACC₁: AC — диагональ основания, CC₁ — боковое ребро (2a), AC₁ — диагональ параллелепипеда. Треугольник прямоугольный? Нет, проекция AC₁ на плоскость основания есть AC, а CC₁⊥AC. Значит, △ACC₁ прямоугольный с катетом CC₁=2a и катетом AC=a2. Тогда тангенс угла при A равен CC₁/AC=2a/a2=2. Угол arctan(2)≈54.74^°. Однако ключ ответа говорит ≈59^°44′. Давайте перепроверим вычисления по ключу. Если угол 59^°44′, то tan≈1.71. Это не совпадает с 2≈1.41. Возможно, в условии опечатка в ключе или я неверно истолковал «угол между прямыми». Но для пересекающихся прямых угол определяется однозначно. Пересчитаем арккосинус 1/3: 54.7356^°. Ключ 59.73^° соответствует cos≈0.504. Это странно. Посмотрим на другой вариант: может быть, имелась в виду прямая A₁C? Или BD₁? Если бы искали угол между AC и BD₁, то вектор BD₁=(-a;-a;2a). Скалярное произведение с AC(-a;a;0) равно a²-a²+0=0, угол 90^°. Не подходит. Давайте проверим расчёт для пункта а) ещё раз. cos=1/10≈0.316. arccos(0.316)≈71.56^°. 0.56×60=33.6′. Округляем до 34′. Совпадает с ключом. Теперь пункт б). Может быть, в учебнике ошибка в ключе, или условие немного другое? Например, если AA₁=AB? Тогда cos=1/2, угол 45^°. Если AA₁=3AB? AC=(-a,a,0), AC₁=(-a,a,3a). Скалярное 2a². Длины a2,a11. Косинус 2/22≈0.42. Угол 65^°. Попробуем найти угол, дающий 59^°44′. cos(59.73^°)≈0.504. sin(59.73^°)≈0.863. tan≈1.71. Если мы считали угол между AC и A₁C? CA₁=(a;-a;2a). CA=(a;-a;0). Скалярное 2a². Длины a2,a6. Тот же результат. Возможно, в условии задачи номер 708 в некоторых изданиях стороны основания не равны? Но сказано AB=BC. Оставим решение строго по условию. Результат 54^°44′ (округленно) против ключа 59^°44′. Разница ровно в 5 градусов? Нет. 54.7 vs 59.7. Проверим, не путают ли они угол с другим? Например, угол наклона диагонали к основанию? tan=2a/(a2)=2. То же самое. Есть вероятность, что в ключе ошибка, либо в условии должно было быть AA₁=k·AB с другим k. При каком k угол будет 59.7^°? tanα=k/2. tan(59.7)≈1.71. k=1.71·1.414≈2.42. Не целое число. При каком k косинус равен 1/3? Мы получили этот ответ. Он математически верен для условия AA₁=2AB. Однако, давайте посмотрим на формулировку «угол между прямыми AC и AC₁». Это угол CAC₁. В прямоугольном треугольнике ACC₁ (угол C прямой, так как CC₁⊥ основанию) катеты AC=a2 и CC₁=2a. Гипотенуза AC₁=a6. cosA=AC/AC₁=a2/a6=1/3. Всё верно. Я напишу правильный вывод по условию, но упомяну несоответствие с ключом в примечании, так как инструкция гласит: «ключ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой».

Проверка.

Для пункта а) мы использовали векторный метод, который надежен для скрещивающихся прямых. Модуль косинуса 1/10 корректен. Для пункта б) геометрический смысл угла между пересекающимися прямыми сводится к углу в треугольнике. Расчёты длин сторон и тригонометрических функций выполнены без ошибок. Полученные значения ≈71^°34′ и ≈54^°44′ являются точными следствиями заданных размеров параллелепипеда.