ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 711: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Ольга Кузнецова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В тетраэдре ABCD углы при вершине B прямые (∠ABD = ∠ABC=DBC=90°), рёбра AB=BD=2, BC=1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер AD и BC, и плоскостью грани
а) ABD
б) DBC
в) ABC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Так как углы при вершине B прямые (∠ABD=∠ABC=∠DBC=90°), удобно ввести прямоугольную систему координат с началом в точке B. Оси направим вдоль рёбер: ось Ox — по ребру BA, ось Oy — по ребру BD, ось Oz — по ребру BC. Запишем координаты всех вершин тетраэдра, найдём координаты середин рёбер AD и BC, составим вектор-направление прямой, соединяющей эти середины. Затем для каждой грани определим нормальный вектор плоскости и вычислим синус угла между прямой и плоскостью по формуле через скалярное произведение вектора прямой и нормали к плоскости.
Введение координат и нахождение векторов.
По условию AB=2, BD=2, BC=1. Координаты вершин:
- B(0;0;0);
- A(2;0;0) (так как лежит на оси Ox);
- D(0;2;0) (так как лежит на оси Oy);
- C(0;0;1) (так как лежит на оси Oz).
Найдём координаты середины ребра AD (обозначим её M) и середины ребра BC (обозначим её N):
M=(2+0/2;0+2/2;0+0/2)=(1;1;0) N=(0+0/2;0+0/2;0+1/2)=(0;0;1/2)Вектор MN, задающий направление прямой MN:
MN=N-M=(0-1;0-1;1/2-0)=(-1;-1;1/2)Для удобства расчётов умножим компоненты вектора на 2, чтобы избавиться от дробей. Направление не изменится. Пусть s=(-2;-2;1) — направляющий вектор прямой. Длина этого вектора:
|s|=(-2)2+(-2)2+12=4+4+1=9=3а) Угол с плоскостью грани ABD.
Грань ABD лежит в плоскости XOY (так как координата z у точек A,B,D равна 0). Нормальный вектор этой плоскости параллелен оси Oz. Возьмём n1=(0;0;1). Его длина |n1|=1.
Синус угла α между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости:
sinα=|s·n1|/|s|·|n1| s·n1=(-2)·0+(-2)·0+1·1=1 sinα=|1|/3·1=1/3Ответ а): 1/3.
б) Угол с плоскостью грани DBC.
Грань DBC лежит в плоскости YOZ (координата x у точек D,B,C равна 0). Нормальный вектор этой плоскости параллелен оси Ox. Возьмём n2=(1;0;0). Его длина |n2|=1.
s·n2=(-2)·1+(-2)·0+1·0=-2 sinβ=|-2|/3·1=2/3Ответ б): 2/3.
в) Угол с плоскостью грани ABC.
Грань ABC лежит в плоскости XOZ (координата y у точек A,B,C равна 0). Нормальный вектор этой плоскости параллелен оси Oy. Возьмём n3=(0;1;0). Его длина |n3|=1.
s·n3=(-2)·0+(-2)·1+1·0=-2 sinγ=|-2|/3·1=2/3Ответ в): 2/3.
Проверка.
Все полученные значения лежат в диапазоне [0;1], что допустимо для синуса угла. Геометрическая симметрия задачи подтверждает результаты: грани DBC и ABC равноправны относительно осей Oy и Oz в контексте длин рёбер BD=2 и BC=1? Нет, здесь важно отметить, что хотя длины рёбер разные, структура уравнений для проекций вектора s=(-2;-2;1) на оси координат даёт одинаковые модули скалярных произведений с нормалями граней DBC (ось x) и ABC (ось y), так как первые две компоненты вектора равны по модулю. Для грани ABD (ось z) используется третья компонента, которая отличается, поэтому ответ другой. Расчёты верны.
а) 1/3
б) 2/3
в) 2/3
Использован метод координат. Введена система координат с началом в вершине B. Найдены координаты середин ребер AD и BC, построен направляющий вектор прямой. Для каждой грани определена нормаль (параллельная соответствующей оси координат). Синус угла между прямой и плоскостью вычислен как отношение модуля скалярного произведения вектора прямой и нормали к произведению их длин.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 711 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 711?
Краткий ответ: а) 13; б) 23; в) 23.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.