ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 707: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Сергей Мишин, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1 точка M лежит на ребре AA_1, причём AM:MA1=3:1, а точка N — середина ребра BC. Вычислите косинус угла между прямыми
а) MN и DD_1
б) MN и BD
в) MN и B_1D
г) MN и A_1C.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно 4 (это удобно для деления отрезков в отношении 3:1 и пополам). Поместим начало координат в точку A(0;0;0). Тогда ось Ox направлена вдоль AB, ось Oy — вдоль AD, а ось Oz — вдоль AA1.
Определим координаты вершин куба и точек M,N:
- A(0;0;0), B(4;0;0), D(0;4;0), A1(0;0;4), B1(4;0;4), C(4;4;0), D1(0;4;4).
- Точка M лежит на ребре AA1, причем AM:MA1=3:1. Длина AA1=4, значит AM=3. Координаты M(0;0;3).
- Точка N — середина ребра BC. Координаты B(4;0;0) и C(4;4;0). Середина N(4+4/2;0+4/2;0+0/2)=N(4;2;0).
Найдем вектор MN, который будет общим для всех пунктов: MN=(4-0;2-0;0-3)=(4;2;-3) Длина этого вектора: |MN|=42+22+(-3)2=16+4+9=29.
а) Косинус угла между прямыми MN и DD1
Вектор DD1 параллелен оси Oz. Координаты D(0;4;0), D1(0;4;4). DD1=(0;0;4) Можно взять направляющий вектор k=(0;0;1) или оставить DD1. Используем v1=(0;0;4). cosα=|MN·DD1|/|MN|·|DD1|=|4·0+2·0+(-3)·4|/29·02+02+42=|-12|/29·4=12/429=3/29
б) Косинус угла между прямыми MN и BD
Координаты B(4;0;0), D(0;4;0). BD=(0-4;4-0;0-0)=(-4;4;0) Длина |BD|=(-4)2+42+02=16+16=32=42. Скалярное произведение: MN·BD=4·(-4)+2·4+(-3)·0=-16+8+0=-8 Косинус угла (берем модуль): cosβ=|-8|/29·42=8/458=2/58
в) Косинус угла между прямыми MN и B1D
Координаты B1(4;0;4), D(0;4;0). B1D=(0-4;4-0;0-4)=(-4;4;-4) Длина |B1D|=(-4)2+42+(-4)2=16+16+16=48=43. Скалярное произведение: MN·B1D=4·(-4)+2·4+(-3)·(-4)=-16+8+12=4 Косинус угла: cosγ=|4|/29·43=4/487=1/87
г) Косинус угла между прямыми MN и A1C
Координаты A1(0;0;4), C(4;4;0). A1C=(4-0;4-0;0-4)=(4;4;-4) Длина |A1C|=42+42+(-4)2=48=43. Скалярное произведение: MN·A1C=4·4+2·4+(-3)·(-4)=16+8+12=36 Косинус угла: cosδ=|36|/29·43=36/487=9/87 Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на 87 или сократив. Заметим, что 87=3·29. В ключе ответа дано значение 33/29. Проверим эквивалентность: 9/87=9/329=93/329=33/29 Результат совпадает с ориентиром.
а) 3/29
б) 2/58
в) 1/87
г) 33/29
Задача решена методом координат. Выбран размер ребра куба 4 для удобства работы с отношениями. Для каждой пары прямых найдены направляющие векторы, вычислены их длины и скалярные произведения. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 707 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 707?
Краткий ответ: а) 3√29; б) 2√58; в) 1√87; г) 3√3√29.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.