ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 716: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В тетраэдре DABC даны длины рёбер DA=5 см, AB=4 см, AC=3 см и углы ∠BAC=90°, ∠DAB=60°, ∠DAC=45°. Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения медиан треугольника DBC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи применим метод координат в пространстве. Введём прямоугольную систему координат с началом в вершине A. Так как угол ∠BAC=90°, удобно направить ось Ox вдоль ребра AB, а ось Oy — вдоль ребра AC. Тогда координаты точек B и C будут простыми.
1. Определение координат вершин тетраэдра
- Точка A является началом координат: A(0;0;0).
- Так как AB=4 см и лежит на оси Ox: B(4;0;0).
- Так как AC=3 см и лежит на оси Oy: C(0;3;0).
- Найдём координаты точки D(xD;yD;zD). Длина ребра DA=5, значит x2D+y2D+z2D=52=25.
- Угол между вектором AD и осью Ox (вектором AB) равен 60°. Проекция AD на ось Ox равна xD=|AD|cos(60°)=5·1/2=2.5.
- Угол между вектором AD и осью Oy (вектором AC) равен 45°. Проекция AD на ось Oy равна yD=|AD|cos(45°)=5·2/2=2.52.
- Подставим найденные xD и yD в уравнение длины DA: (2.5)2+(2.52)2+z2D=25 6.25+6.25·2+z2D=25 6.25+12.5+z2D=25 18.75+z2D=25impliesz2D=25-18.75=6.25 zD=6.25=2.5 (Выбираем положительное значение для высоты). Итак, координаты точки D: D(2.5;2.52;2.5).
2. Координаты центра тяжести треугольника DBC
Пусть M — точка пересечения медиан треугольника DBC. Её координаты являются средним арифметическим координат вершин этого треугольника:
xM=xD+xB+xC/3, yM=yD+yB+yC/3, zM=zD+zB+zC/3Подставим значения:
- xM=2.5+4+0/3=6.5/3=13/6
- yM=2.52+0+3/3=2.52+3/3=52+6/6
- zM=2.5+0+0/3=2.5/3=5/6
3. Расчёт расстояния AM
Расстояние от начала координат A(0;0;0) до точки M вычисляется по формуле:
AM=x2M+y2M+z2MВычислим квадраты координат:
- x2M=(13/6)2=169/36
- z2M=(5/6)2=25/36
- y2M=(52+6/6)2=(52)2+2·52·6+62/36=50+602+36/36=86+602/36
Суммируем:
AM2=169+25+86+602/36=280+602/36Сократим дробь на 4:
AM2=70+152/9Извлекаем корень:
AM=70+152/9=1/370+1521/3\sqrt{70+15\sqrt{2}}
Задача решается методом координат. Ключевой момент — правильный выбор системы координат, чтобы упростить выражение координат точки D через заданные углы при вершине A. Проверка арифметических действий подтверждает совпадение с ответом из учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 716 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 716?
Краткий ответ: 13 70+15√2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.