ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 719: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найти координаты точек, в которые переходят точки A(0; 1; 2), B(3; -1; 4), C(1; 0; -2) при
а) центральной симметрии относительно начала координат
б) осевой симметрии относительно координатных осей
в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения. Для каждой из трёх частей задачи применим правила преобразования координат при соответствующих видах симметрии. При центральной симметрии относительно начала координат все знаки координат меняются на противоположные. При осевой симметрии знак меняется только у той координаты, которая соответствует оси симметрии (остальные остаются прежними). При зеркальной симметрии относительно плоскости знак меняется у координаты, перпендикулярной этой плоскости (например, для плоскости xy меняется z).
Вычисление.
а) Центральная симметрия относительно начала координат (0;0;0).
Правило: (x;y;z)→(-x;-y;-z).
Для точки A(0;1;2): A1(0;-1;-2).
Для точки B(3;-1;4): B1(-3;1;-4).
Для точки C(1;0;-2): C1(-1;0;2).
б) Осевая симметрия относительно координатных осей.
Здесь нужно рассмотреть три случая для каждой точки или дать общий вид. Обычно в таких задачах подразумевается симметрия относительно каждой из осей отдельно.
1. Относительно оси Ox: (x;y;z)→(x;-y;-z).
Ax(0;-1;-2), Bx(3;1;-4), Cx(1;0;2).
2. Относительно оси Oy: (x;y;z)→(-x;y;-z).
Ay(0;1;-2), By(-3;-1;-4), Cy(-1;0;2).
3. Относительно оси Oz: (x;y;z)→(-x;-y;z).
Az(0;-1;2), Bz(-3;1;4), Cz(-1;0;-2).
в) Зеркальная симметрия относительно координатных плоскостей.
1. Относительно плоскости xy (z=0): (x;y;z)→(x;y;-z).
Axy(0;1;-2), Bxy(3;-1;-4), Cxy(1;0;2).
2. Относительно плоскости yz (x=0): (x;y;z)→(-x;y;z).
Ayz(0;1;2), Byz(-3;-1;4), Cyz(-1;0;-2).
3. Относительно плоскости xz (y=0): (x;y;z)→(x;-y;z).
Axz(0;-1;2), Bxz(3;1;4), Cxz(1;0;-2).
Проверка.
Убедимся в корректности правил. Например, точка A(0;1;2) и её образ при центральной симметрии A1(0;-1;-2). Середина отрезка AA1 имеет координаты (0+0/2;1-1/2;2-2/2)=(0;0;0), что совпадает с центром симметрии. Аналогично, для осевой симметрии относительно Ox точка B(3;-1;4) переходит в Bx(3;1;-4). Расстояние до оси Ox сохраняется, а проекция на ось остаётся неизменной (x=3), что верно. Все вычисления выполнены по стандартным формулам движения в пространстве.
а) A_1(0; -1; -2), B_1(-3; 1; -4), C_1(-1; 0; 2)
б) Ox: Aₓ(0; -1; -2), Bₓ(3; 1; -4), Cₓ(1; 0; 2); Oy: Aᵧ(0; 1; -2), Bᵧ(-3; -1; -4), Cᵧ(-1; 0; 2); Oz:Az(0; -1; 2), B_z(-3; 1; 4), C_z(-1; 0; -2)
в) xy:Axy(0; 1; -2), B_xy(3; -1; -4), C_xy(1; 0; 2); yz:Ayz(0; 1; 2), B_yz(-3; -1; 4), C_yz(-1; 0; -2); xz:Axz(0; -1; 2), B_xz(3; 1; 4), C_xz(1; 0; -2)
Задача требует применения базовых формул симметрий в пространстве. Важно не путать осевую и зеркальную симметрию. При осевой симметрии меняются знаки двух координат, при зеркальной — одной. В пункте б) и в) необходимо указать результаты для всех возможных осей/плоскостей, так как условие говорит 'относительно координатных осей' (множественное число).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 719 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 719?
Краткий ответ: а) A_1(0; -1; -2), B_1(-3; 1; -4), C_1(-1; 0; 2); б) Ox: Aₓ(0; -1; -2), Bₓ(3; 1; -4), Cₓ(1; 0; 2); Oy: Aᵧ(0; 1; -2), Bᵧ(-3; -1; -4), Cᵧ(-1; 0; 2); Oz: A_z(0; -1; 2), B_z(-3; 1; 4), C_z(-1; 0; -2); в) xy: A_xy(0; 1; -2), B_xy(3; -1; -4), C_xy(1; 0; 2); yz: A_yz(0; 1; 2), B_yz(-3; -1; 4), C_yz(-1; 0; -2); xz: A_xz(0; -1; 2), B_xz(3; 1; 4), C_xz(1; 0; -2).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.