ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 729: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства свойств движений (сохранения параллельности прямых и плоскостей) удобно использовать метод от противного. Вспомним определение движения: это преобразование пространства, сохраняющее расстояния между точками. Также напомним, что две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Вычисление и доказательство.

а) Параллельные прямые отображаются на параллельные прямые.

• Пусть даны две параллельные прямые a и b. Допустим, что при некотором движении f их образы a′=f(a) и b′=f(b) не являются параллельными.
• Если прямые a′ и b′ не параллельны, то они либо пересекаются, либо скрещиваются.
• Рассмотрим случай пересечения. Пусть a′ и b′ пересекаются в точке M′. Так как движение — биекция, существует прообраз M=f^-1(M′). Точка M должна принадлежать и прямой a, и прямой b. Но по условию a∥b, значит, у них нет общих точек. Противоречие.
• Рассмотрим случай скрещивания. Если a′ и b′ скрещиваются, то расстояние между ними определяется как длина общего перпендикуляра. Однако движение сохраняет все метрические свойства, включая углы и взаимное расположение векторов направления. Направление прямой сохраняется с точностью до знака (или меняется на противоположное), но угол между прямыми сохраняется. Угол между параллельными прямыми равен 0^° или 180^°. Если бы образы были скрещивающимися, это нарушило бы сохранение структуры пространства относительно бесконечно удаленных точек (в аффинном смысле) или просто противоречило бы тому, что движение переводит плоскость, содержащую a и b, в плоскость, содержащую a′ и b′, где они должны быть компланарны. Более строго: пусть A_1,A₂∈a и B_1,B₂∈b. Векторы A₁A₂ и B₁B₂ коллинеарны. При движении векторы переходят в коллинеарные векторы A′₁A′₂ и B′₁B′₂. Значит, прямые a′ и b′ либо параллельны, либо совпадают. Совпадение невозможно, так как исходные прямые различны, а движение инъективно. Следовательно, a′∥b′.

б) Параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.

• Пусть даны две параллельные плоскости α и β. Допустим, что при движении f их образы α′=f(α) и β′=f(β) не параллельны.
• Если плоскости не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой l′.
• Возьмем точку P′∈l′. Тогда P′∈α′ и P′∈β′. Существует прообраз P=f^-1(P′). По определению образа множества, P∈α и P∈β.
• Это означает, что плоскости α и β имеют общую точку P. Но по условию α∥β, то есть общих точек у них нет. Получаем противоречие.
• Следовательно, предположение неверно, и плоскости α′ и β′ не могут пересекаться. Значит, они параллельны.

Проверка.

Логика метода от противного безупречна: мы показали, что нарушение вывода (пересечение образов) неизбежно ведет к нарушению условия (пересечение прообразов). Поскольку движение является взаимно однозначным отображением пространства на себя, оно сохраняет структуру инцидентности (принадлежность точки линии/плоскости). Таким образом, параллельность, определяемая отсутствием общих точек, сохраняется.