ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 733: метод координат

План решения:

• Сначала найдём координаты середины отрезка AB, используя формулу средней точки.
• Для пункта а) определим проекцию этой середины на ось Ox. Точка на оси имеет нулевые координаты по y и z, а её координата x совпадает с абсциссой середины отрезка. Это и будет ближайшая точка.
• Для пункта б) аналогично найдём проекции на оси Oy и Oz.

Вычисление:

Даны точки A(-5;7;3) и B(3;-11;1). Пусть M — середина отрезка AB. Координаты точки M(x_M;y_M;z_M) вычисляются как полусуммы соответствующих координат концов отрезка:

Таким образом, середина отрезка имеет координаты M(-1;-2;2).

а) Ищем точку на оси Ox. Любая точка на этой оси имеет вид (x;0;0). Расстояние от точки M(-1;-2;2) до произвольной точки P_x(x;0;0) минимально, когда x максимально приближено к x_M. Следовательно, искомая точка — это проекция M на ось Ox: (-1;0;0) .

б) Ищем точки на осях Oy и Oz.

• На оси Oy точка имеет вид (0;y;0). Ближайшая точка соответствует ординате середины: (0;-2;0) .
• На оси Oz точка имеет вид (0;0;z). Ближайшая точка соответствует аппликате середины: (0;0;2) .

Проверка:

Логика основана на свойствах прямоугольной системы координат в пространстве. Кратчайшее расстояние от точки до прямой (оси координат) равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Для осей координат такой перпендикуляр параллелен одной из плоскостей координат, и «пятка» перпендикуляра сохраняет только ту координату, которая отвечает за положение вдоль оси, обнуляя остальные. Полученные значения -1, -2 и 2 точно соответствуют координатам найденной середины M, что подтверждает правильность ответа.