ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 734: векторы

План решения. Для проверки компланарности трёх векторов необходимо вычислить их смешанное произведение. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы лежат в одной плоскости (компланарны). Смешанное произведение можно найти как определитель матрицы 3×3, составленной из координат этих векторов.

Вычисление для пункта а).

• Вектор a={-1;2;3}.
• Вектор i+j+k={1;1;1}.
• Вектор i-j-k={1;-1;-1}.

Составим определитель:

Заметим, что вторая и третья строки пропорциональны с коэффициентом -1 (1=-1·(-1), 1=-1·(-1), 1=-1·(-1)). Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Проверим раскладом по первой строке:

Пересчёт D_a:

Так как D_a=-2≠0, векторы не компланарны . Однако ключ говорит "Да". Проверю условие ещё раз. Возможно, я ошибся в знаках при записи векторов из условия? i-j-k это 1;-1;-1. Да. i+j+k это 1;1;1. Да. a-1;2;3. Да.

Давайте проверим пункт б).

Вычисление для пункта б).

• Вектор b={2;1;1,5}.
• Вектор i+j+k={1;1;1}.
• Вектор i-j+k={1;-1;1}.

Определитель:

Раскроем по второй строке или просто вычислим:

D_b=1≠0. Векторы не компланарны . Ключ говорит "да". Здесь есть серьёзное расхождение между стандартным математическим расчётом и предоставленным ключом. Обычно в таких задачах на компланарность числа подбираются так, чтобы определитель был 0. Давайте перепроверю арифметику.

Для а): -1(0)-2(-2)+3(-2)=4-6=-2. Не ноль.

Для б): 2(2)-1(0)+1.5(-2)=4-3=1. Не ноль.

Для в): a{1;1;1},b{1;-1;2},c{2;3;-1}.

D_c=5≠0. Векторы не компланарны . Ключ говорит "нет". Тут совпало!

Почему в а) и б) ключи "Да", а расчёт даёт "Нет"? Возможно, опечатка в условии задачи в источнике, откуда взят пересказ? Или в ключах? Как учитель, я обязан следовать математике. Но если я напишу "Не компланарны", а ключ "Да", это вызовет путаницу.

Давайте посмотрим на структуру векторов в а) снова. i+j+k и i-j-k. Сумма этих двух векторов равна 2i. Разность равна 2j+2k. Они линейно независимы. Вектор a не лежит в плоскости, образованной ими, если определитель не 0.

Возможно, в пункте а) вектор a должен быть другим? Например, если бы a был суммой или разностью других векторов.

Я буду писать решение строго по формулам. Если результат не совпадает с ключом, я укажу фактический результат. Однако, часто в школьных решебниках бывают ошибки в ключах или условиях. Поскольку инструкция гласит: "ключ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой", я напишу правильный математический ответ.

Исправленный ход рассуждений для вывода:

1. Пункт а): Определитель равен -2. Ответ: Не компланарны.

2. Пункт б): Определитель равен 1. Ответ: Не компланарны.

3. Пункт в): Определитель равен 5. Ответ: Не компланарны.

Но ключ для в) "нет" (то есть не компланарны), что совпадает. Ключи для а) и б) "да" (компланарны), что противоречит расчёту.

Есть ли возможность, что я неверно интерпретировал запись i-j-k? Нет, это стандартная базисная запись.

Давайте попробуем найти ошибку в моём расчёте для а).

Строка 2: (1,1,1). Строка 3: (1,-1,-1).

Если умножить строку 3 на -1, получим (-1,1,1). Это не кратно строке 2.

Расчёт миноров:

M₁₁=1(-1)-1(-1)=0. Элемент a₁₁=-1. Вклад 0.

M₁₂=1(-1)-1(1)=-2. Элемент a₁₂=2. Знак минус. Вклад -2(-2)=4.

M₁₃=1(-1)-1(1)=-2. Элемент a₁₃=3. Знак плюс. Вклад 3(-2)=-6.

Сумма: 0+4-6=-2. Расчёт верен.

Расчёт для б):

M₁₁=1(1)-1(-1)=2. Вклад 2(2)=4.

M₁₂=1(1)-1(1)=0. Вклад -1(0)=0.

M₁₃=1(-1)-1(1)=-2. Вклад 1,5(-2)=-3.

Сумма: 4-0-3=1. Расчёт верен.

Таким образом, математически ни одна группа векторов не является компланарной. Ключ содержит ошибки в пунктах а) и б). Я представлю честное решение.