ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 737: векторы

Для решения задачи воспользуемся свойствами параллелепипеда. В параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, что означает равенство соответствующих векторов. Например, вектор AB равен вектору DC, а также вектору A₁B₁. Аналогично, боковые ребра равны: AA₁=BB₁=CC₁=DD₁.

Найдем координаты вершины C. Поскольку ABCD — параллелограмм (основание), то BC=AD. Вычислим вектор AD: AD=D-A=(7-3;1-0;2-2)=(4;1;0). Тогда координаты точки C можно найти как сумму координат точки B и вектора BC (который равен AD): C=B+AD=(2+4;4+1;5+0)=(6;5;5).

Теперь найдем координаты верхних вершин A_1,B_1,C_1,D₁. Нам уже дана точка A₁(5;3;1). Найдем вектор перемещения по высоте параллелепипеда AA₁: AA₁=A₁-A=(5-3;3-0;1-2)=(2;3;-1). Так как все боковые ребра параллельны и равны, то для любой нижней вершины X соответствующая верхняя вершина X₁ находится по формуле X₁=X+AA₁. 1. Для точки B₁: B₁=B+AA₁=(2+2;4+3;5-1)=(4;7;4). 2. Для точки D₁: D₁=D+AA₁=(7+2;1+3;2-1)=(9;4;1). 3. Для точки C₁: C₁=C+AA₁=(6+2;5+3;5-1)=(8;8;4).

Проверим правильность вычислений, используя свойство диагоналей или других граней. Например, проверим, что A₁D₁=AD. A₁D₁=D₁-A₁=(9-5;4-3;1-1)=(4;1;0). Это совпадает с AD(4;1;0), значит, расчеты верны.