ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 730: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся определением движения. Движением называется отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками. Если f — движение, то для любых точек A и B выполняется равенство AB=f(A)f(B). Мы будем последовательно применять это свойство к геометрическим объектам из условия задачи.

а) Доказательство того, что окружность отображается на окружность того же радиуса.

Пусть дана окружность ρ с центром в точке O и радиусом R. По определению, множество всех точек M, принадлежащих этой окружности, удовлетворяет условию OM=R. Рассмотрим образы этих точек при движении f. Пусть O′=f(O) — образ центра, а M′=f(M) — образ произвольной точки M с окружности. Так как f сохраняет расстояния, то расстояние между образами точек равно расстоянию между самими точками: O′M′=OM Подставив значение радиуса исходной окружности, получаем: O′M′=R Это равенство означает, что все точки M′ лежат на расстоянии R от фиксированной точки O′. Следовательно, образ окружности ρ является окружностью ρ′ с центром O′ и тем же радиусом R.

б) Доказательство того, что прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Его измерения задаются длинами ребер, выходящих из одной вершины, например, a=AB, b=AD, c=AA₁. Также важно, что грани являются прямоугольниками, то есть смежные ребра перпендикулярны (AB⊥AD, AB⊥AA₁ и т.д.). Обозначим образы вершин через A′=f(A), B′=f(B) и так далее. 1. Сохранение длин ребер: Поскольку движение сохраняет расстояния, длины соответствующих ребер нового многогранника равны длинам исходных: A′B′=AB=a, A′D′=AD=b, A′A′₁=AA₁=c 2. Сохранение углов (перпендикулярности): Движение сохраняет не только расстояния, но и углы между прямыми. Так как в исходном параллелепипеде ребро AB перпендикулярно ребру AD, то их образы также будут перпендикулярны: A′B′⊥A′D′. Аналогично, A′B′⊥A′A′₁ и A′D′⊥A′A′₁. 3. Форма граней: Грани нового тела образованы образами граней старого. Например, грань ABB′A′ переходит в грань A′B′B′′A′′. Так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны (свойства, сохраняемые движением), а угол при вершине A′ прямой, то грань A′B′B′′A′′ является прямоугольником со сторонами a и c. 4. Вывод: Полученный многогранник имеет шесть граней, каждая из которых является прямоугольником, и три ребра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны и имеют длины a,b,c. Это полное описание прямоугольного параллелепипеда с теми же измерениями.

Проверка.

Логика доказательств опирается исключительно на фундаментальное свойство движения — инвариантность метрических характеристик (расстояний). В пункте (а) мы показали, что множество точек, удаленных от центра на фиксированное расстояние, переходит в такое же множество. В пункте (б) мы подтвердили, что структура прямоугольного параллелепипеда (прямоугольные грани, перпендикулярные ребра) сохраняется, так как углы и длины сторон остаются неизменными. Таким образом, утверждения доказаны верно.