ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 688: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Дан вектор a{3; -5; 0}. Докажите, что
а) угол между a и i меньше 90°
б) угол между a и j больше 90°
в) угол между a и k равен 90°.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства утверждений об углах между векторами воспользуемся определением скалярного произведения и его геометрическим смыслом. Скалярное произведение двух ненулевых векторов a и b равно произведению их длин на косинус угла между ними: (a,b)=|a||b| extcos heta.
Знак косинуса определяет величину угла θ:
- Если (a,b)>0, то cos heta>0, значит угол острый (θ<90o).
- Если (a,b)<0, то cos heta<0, значит угол тупой (θ>90o).
- Если (a,b)=0, то cos heta=0, значит угол прямой (θ=90o).
Вычисления.
а) Найдем скалярное произведение вектора a и орта i. (a,i)=axix+ayiy+aziz=3 imes1+(-5) imes0+0 imes0=3.
Так как (a,i)=3>0, то cos hetaa,i>0. Следовательно, угол между векторами a и i является острым, то есть меньше 90o. Утверждение доказано.
б) Найдем скалярное произведение вектора a и орта j. (a,j)=axjx+ayjy+azjz=3 imes0+(-5) imes1+0 imes0=-5.
Так как (a,j)=-5<0, то cos hetaa,j<0. Следовательно, угол между векторами a и j является тупым, то есть больше 90o. Утверждение доказано.
в) Найдем скалярное произведение вектора a и орта k. (a,k)=axkx+ayky+azkz=3 imes0+(-5) imes0+0 imes1=0.
Так как (a,k)=0, то cos hetaa,k=0. Следовательно, угол между векторами a и k равен 90o. Утверждение доказано.
Проверка и вывод.
Мы использовали формулу вычисления скалярного произведения через координаты: (a,b)=x1x2+y1y2+z1z2. Знаки полученных результатов однозначно указывают на тип угла, так как длины векторов всегда положительны. Для a длина равна
sqrt32+(-5)2+02=
sqrt34, для ортов она равна 1. Таким образом, знак косинуса совпадает со знаком скалярного произведения. Результаты согласуются с условием задачи.
Доказано через знаки скалярных произведений
а) (a,i)=3>0
б) (a,j)=-5<0
в) (a,k)=0.
Ключ в разделе 'Ответы' (5,5; 3,5; 4) не имеет физического смысла для данной задачи на доказательство углов и, вероятно, относится к другой задаче или содержит ошибку нумерации. Решение построено строго по математическому смыслу условия.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 688 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 688?
Краткий ответ: Доказано через знаки скалярных произведений: а) ( a, i)=3>0; б) ( a, j)=-5<0; в) ( a, k)=0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.