ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 685: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Даны векторы a{1; -1; 2}, b{-1; 1; 1} и c{5; 6; 2}. Вычислите ac, ab, bc, aa, bb.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
В задаче требуется вычислить скалярные произведения заданных векторов. Напомню определение: скалярное произведение двух векторов a=x1;y1;z1) x2;y2;z2)
Также нужно найти квадраты длин векторов |a|2 и |b|2, что эквивалентно скалярному произведению вектора на самого себя (aa и bb). В условии ключа для bb указано значение b/3, однако это явная опечатка в источнике ответов (скалярное произведение не может быть вектором или дробью с вектором в числителе без контекста нормировки, а стандартная запись bb означает квадрат длины). Мы будем считать строго по математическому определению bb=|b|2. Если же имелось в виду единичный вектор, то обычно пишут b/|b|. Проверим стандартные значения.
Вычисления.
Даны векторы: a=1;-1;2) -1;1;1) 5;6;2)
- Найдем ac: ac=1×5+(-1)×6+2×2=5-6+4=3
- Найдем ab: ab=1×(-1)+(-1)×1+2×1=-1-1+2=0
- Найдем bc: bc=(-1)×5+1×6+1×2=-5+6+2=3
- Найдем aa (квадрат модуля вектора a): aa=12+(-1)2+22=1+1+4=6
- Найдем bb (квадрат модуля вектора b): bb=(-1)2+12+12=1+1+1=3
Проверка и анализ ответа.
Сравним полученные результаты с ориентиром из раздела «Ответы»:
- ac=3 — совпадает.
- ab=0 — совпадает.
- bc=3 — совпадает.
- aa=6 — совпадает.
- bb: мы получили 3. В ключе указано b/3. Это противоречие типов данных (число vs вектор/выражение). Скорее всего, в ключе опечатка, и должно было быть просто число 3, либо имелось в виду что-то другое, но математически корректным ответом на вопрос «вычислите bb» является число 3. Значение |b|=b/3 также неверно, так как |b|=b/3. Возможно, в ключе перепутали обозначения или это ошибка распознавания текста (OCR), где b/3 могло быть искажением числа 3 или выражения 1/3|b|2? Нет, наиболее вероятно, что правильный ответ — 3. Я приведу результат 3, так как он следует из определения.
ac=3,ab=0,bc=3,aa=6,bb=3
В исходном ключе для последнего пункта указано 'bb = b/3', что является математической ошибкой или опечаткой источника (скалярное произведение вектора на себя есть число, равное квадрату его длины). По условию задачи требуется вычислить скалярные произведения. Для вектора b(-1;1;1) скалярный квадрат bb = (-1)^2 + 1^2 + 1^2 = 3. Решение дано строго по определению скалярного произведения.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 685 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 685?
Краткий ответ: a c=3, a b=0, b c=3, a a=6, b b=3.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.