10–11 классы Метод координат в пространстве § 3. Метод координат в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 682: Метод координат в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Екатерина Новикова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 681 683 →

Условие

Дан куб ABCDA_1B_1C_1D_1. Найдите угол между векторами

а) B_1B и B_1C

б) DA и B_1D_1

в) A_1C_1 и AB

г) BC и AC

д) BB_1 и AC

е) B_1C и AD_1

ж) A_1D_1 и BC

з) AA_1 и C_1C.

Куб

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно 1. Расположим начало координат в точке D(0;0;0). Тогда координаты вершин будут следующими: A(1;0;0), B(1;1;0), C(0;1;0), D₁(0;0;1), A₁(1;0;1), B₁(1;1;1), C₁(0;1;1).

Угол между векторами a и b находится по формуле косинуса угла: cosφ=a·b/|a|·|b| где a·b — скалярное произведение векторов, а |a| и |b| — их длины (модули).

а) Векторы B₁B и B₁C

Координаты вектора B₁B=B-B₁=(1-1;1-1;0-1)=(0;0;-1).
Координаты вектора B₁C=C-B₁=(0-1;1-1;0-1)=(-1;0;-1).
Скалярное произведение: B₁B·B₁C=0·(-1)+0·0+(-1)·(-1)=1.
Модули: |B₁B|=0²+0²+(-1)²=1, |B₁C|=(-1)²+0²+(-1)²=2.
cosφ=1/1·2=2/2. Значит, угол φ=45^°.

б) Векторы DA и B₁D₁

Координаты вектора DA=A-D=(1-0;0-0;0-0)=(1;0;0).
Координаты вектора B₁D₁=D₁-B₁=(0-1;0-1;1-1)=(-1;-1;0).
Скалярное произведение: DA·B₁D₁=1·(-1)+0·(-1)+0·0=-1.
Модули: |DA|=1, |B₁D₁|=(-1)²+(-1)²+0²=2.
cosφ=-1/1·2=-2/2. Значит, угол φ=135^°.

в) Векторы A₁C₁ и AB

Координаты вектора A₁C₁=C₁-A₁=(0-1;1-0;1-1)=(-1;1;0).
Координаты вектора AB=B-A=(1-1;1-0;0-0)=(0;1;0).
Скалярное произведение: A₁C₁·AB=(-1)·0+1·1+0·0=1.
Модули: |A₁C₁|=(-1)²+1²+0²=2, |AB|=1.
cosφ=1/2·1=2/2. Значит, угол φ=45^°.

Примечание к пункту в): В ключе указан ответ 60^°. Однако геометрически диагональ грани A₁C₁ образует с ребром AB (которое параллельно A₁B₁) угол 45^°, так как треугольник A₁B₁C₁ — равнобедренный прямоугольный. Если бы речь шла об угле между A₁C₁ и пространственной диагональю или другой комбинацией, результат мог бы отличаться, но для данных векторов расчет дает 45^°. Возможно, в условии подразумевался угол между AC₁ и AB или опечатка в ключе/условии. Мы приводим строгий расчет по заданным векторам.

г) Векторы BC и AC

Координаты вектора BC=C-B=(0-1;1-1;0-0)=(-1;0;0).
Координаты вектора AC=C-A=(0-1;1-0;0-0)=(-1;1;0).
Скалярное произведение: BC·AC=(-1)·(-1)+0·1+0·0=1.
Модули: |BC|=1, |AC|=(-1)²+1²+0²=2.
cosφ=1/1·2=2/2. Значит, угол φ=45^°.

д) Векторы BB₁ и AC

Координаты вектора BB₁=B₁-B=(1-1;1-1;1-0)=(0;0;1).
Координаты вектора AC=(-1;1;0) (см. выше).
Скалярное произведение: BB₁·AC=0·(-1)+0·1+1·0=0.
Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны. Угол φ=90^°.

е) Векторы B₁C и AD₁

Координаты вектора B₁C=(-1;0;-1) (см. пункт а).
Координаты вектора AD₁=D₁-A=(0-1;0-0;1-0)=(-1;0;1).
Скалярное произведение: B₁C·AD₁=(-1)·(-1)+0·0+(-1)·1=1-1=0.
Векторы перпендикулярны. Угол φ=90^°.

ж) Векторы A₁D₁ и BC

Координаты вектора A₁D₁=D₁-A₁=(0-1;0-0;1-1)=(-1;0;0).
Координаты вектора BC=(-1;0;0) (см. пункт г).
Векторы равны (A₁D₁=BC), значит, они сонаправлены.
Угол между сонаправленными векторами равен 0^°.

з) Векторы AA₁ и C₁C

Координаты вектора AA₁=A₁-A=(1-1;0-0;1-0)=(0;0;1).
Координаты вектора C₁C=C-C₁=(0-0;1-1;0-1)=(0;0;-1).
Вектор C₁C противоположен вектору AA₁ (или CC₁). Они антипараллельны.
Угол между противоположно направленными векторами равен 180^°.

Ответ

а) 45°

б) 135°

в) 45° (в ключе 60°, вероятно опечатка)

г) 45°

д) 90°

е) 90°

ж) 0°

з) 180°

В пункте в) расчет по методу координат дает 45 градусов, так как проекция диагонали грани на сторону составляет половину квадрата диагонали, что соответствует углу 45 в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Ключевое значение 60 градусов может относиться к углу между диагональю грани и пространственной диагональю куба, исходящей из той же вершины, либо к ошибке в источнике. Решение приведено строго по условию.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 682 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 682?

Краткий ответ: а) 45°; б) 135°; в) 45° (в ключе 60°, вероятно опечатка); г) 45°; д) 90°; е) 90°; ж) 0°; з) 180°.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.