ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 680: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением
а) x2+y2+z2=49
б) (x-3)2+(y+2)2+z2=2.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
Уравнение сферы в пространстве имеет стандартный вид: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2, где (x0;y0;z0) — координаты центра сферы, а R — её радиус. Наша задача — привести данные уравнения к этому виду и определить соответствующие параметры.
Вычисление:
а) Дано уравнение x2+y2+z2=49. Перепишем его, явно указав смещения относительно нуля: (x-0)2+(y-0)2+(z-0)2=72. Сравнивая с общим видом, получаем координаты центра O(0;0;0). Правая часть равна квадрату радиуса, то есть R2=49, откуда R=49=7.
б) Дано уравнение (x-3)2+(y+2)2+z2=2. Приведем его к каноническому виду: (x-3)2+(y-(-2))2+(z-0)2=(2)2. Здесь x0=3, y0=-2, z0=0. Следовательно, центр сферы находится в точке C(3;-2;0). Квадрат радиуса равен R2=2, значит, радиус R=2.
Проверка:
Подставим найденные значения обратно в формулу расстояния от центра до любой точки на сфере. Для пункта а) расстояние от (0;0;0) до точки, удовлетворяющей уравнению, равно x2+y2+z2=49=7, что совпадает с вычисленным радиусом. Для пункта б) расстояние от (3;-2;0) до произвольной точки (x;y;z) на сфере равно (x-3)2+(y+2)2+z2=2, что также верно. Ответы согласуются с теорией скалярного произведения и аналитической геометрией.
а) Центр (0; 0; 0), R=7
б) Центр (3; -2; 0), R=2
Задача решается методом выделения полного квадрата (или распознавания уже готовой формы). Важно помнить, что знак перед числом в скобках меняется при определении координат центра (например, (y+2) означает y0=-2).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 680 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 680?
Краткий ответ: а) Центр (0; 0; 0), R=7; б) Центр (3; -2; 0), R=√2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.