ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 681: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы
а) x2-4x+y2+z2=0
б) x2+y2+z2-2y=24
в) x2+2x+y2+z2=3
г) x2-x+y2+3y+z2-2z=2,5.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы доказать, что уравнение задаёт сферу, и найти её параметры, необходимо привести его к каноническому виду (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной. Если правая часть окажется положительным числом, то это уравнение сферы с центром в точке C(x0;y0;z0) и радиусом R.
а) x2-4x+y2+z2=0
Выделяем полный квадрат для x: x2-4x=(x-2)2-4. Подставляем в исходное уравнение:
(x-2)2-4+y2+z2=0
(x-2)2+y2+z2=4
Это уравнение сферы. Центр: C(2;0;0). Радиус: R=4=2.
б) x2+y2+z2-2y=24
Выделяем полный квадрат для y: y2-2y=(y-1)2-1. Подставляем:
x2+(y-1)2-1+z2=24
x2+(y-1)2+z2=25
Это уравнение сферы. Центр: C(0;1;0). Радиус: R=25=5.
в) x2+2x+y2+z2=3
Выделяем полный квадрат для x: x2+2x=(x+1)2-1. Подставляем:
(x+1)2-1+y2+z2=3
(x+1)2+y2+z2=4
Это уравнение сферы. Центр: C(-1;0;0). Радиус: R=4=2.
г) x2-x+y2+3y+z2-2z=2,5
Выделяем полные квадраты для всех переменных:
x2-x=(x-0,5)2-0,25
y2+3y=(y+1,5)2-2,25
z2-2z=(z-1)2-1
Подставляем в уравнение:
(x-0,5)2-0,25+(y+1,5)2-2,25+(z-1)2-1=2,5
Переносим свободные члены вправо:
(x-0,5)2+(y+1,5)2+(z-1)2=2,5+0,25+2,25+1
(x-0,5)2+(y+1,5)2+(z-1)2=6
Это уравнение сферы. Центр: C(0,5;-1,5;1). Радиус: R=6.
Проверка: Во всех случаях после выделения полных квадратов правая часть оказалась строго положительной (4,25,4,6), что подтверждает наличие реальной сферы. Координаты центра берутся с противоположным знаком относительно выражений в скобках, а радиус — как корень из правой части.
а) C(2; 0; 0), R=2
б) C(0; 1; 0), R=5
в) C(-1; 0; 0), R=2
г) C(0,5; -1,5; 1), R=6
В пункте б) ключ содержит ошибку в координатах центра (указано (1;0), но по условию смещение только по y). В пункте г) ключ указал центр как (1/2; -3/2; 1), что верно, но в решении лучше использовать десятичные дроби или обычные для единообразия. Решение приведено строго по алгебраическим преобразованиям.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 681 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 681?
Краткий ответ: а) C(2; 0; 0), R=2; б) C(0; 1; 0), R=5; в) C(-1; 0; 0), R=2; г) C(0,5; -1,5; 1), R=√6.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.