10–11 классы Метод координат в пространстве § 3. Метод координат в пространстве

ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 684: Метод координат в пространстве

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Никита Ершов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 683 685 →

Условие

Ребро куба ABCDA_1B_1C_1D_1 равно a, точка O_1 — центр грани A_1B_1C_1D_1. Вычислите скалярное произведение векторов

а) AD и B_1C_1

б) AC и C_1A_1

в) D_1B и AC

г) BA_1 и BC_1

д) A_1O_1 и A_1C_1

е) D_1O_1 и B_1O_1

ж) BO_1 и C_1B.

Куб

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для вычисления скалярных произведений векторов в пространстве удобно ввести прямоугольную систему координат. Пусть вершина A находится в начале координат (0;0;0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy — вдоль ребра AD, а ось Oz — вдоль ребра AA₁. Так как ребро куба равно a, координаты вершин будут следующими:

A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0);
A₁(0;0;a), B₁(a;0;a), C₁(a;a;a), D₁(0;a;a).

Точка O₁ — центр грани A₁B₁C₁D₁. Её координаты находим как среднее арифметическое координат противоположных вершин этой грани (например, A₁ и C₁):

O₁(0+a/2;0+a/2;a+a/2)=(a/2;a/2;a)

Вычисление по пунктам.

Скалярное произведение двух векторов u(x₁;y₁;z₁) и v(x₂;y₂;z₂) вычисляется по формуле: uv=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

а) Векторы AD и B₁C₁.

Найдём координаты векторов: AD=D-A=(0;a;0)-(0;0;0)=(0;a;0). B₁C₁=C₁-B₁=(a;a;a)-(a;0;a)=(0;a;0).

Скалярное произведение: ADB₁C₁=00+aa+00=a².

б) Векторы AC и C₁A₁.

Координаты векторов: AC=C-A=(a;a;0)-(0;0;0)=(a;a;0). C₁A₁=A₁-C₁=(0;0;a)-(a;a;a)=(-a;-a;0).

Скалярное произведение: ACC₁A₁=a(-a)+a(-a)+0(0)=-a²-a²=-2a².

в) Векторы D₁B и AC.

Координаты векторов: D₁B=B-D₁=(a;0;0)-(0;a;a)=(a;-a;-a). AC=(a;a;0) (из пункта б).

Скалярное произведение: D₁BAC=a(a)+(-a)(a)+(-a)(0)=a²-a²+0=0.

г) Векторы BA₁ и BC₁.

Координаты векторов: BA₁=A₁-B=(0;0;a)-(a;0;0)=(-a;0;a). BC₁=C₁-B=(a;a;a)-(a;0;0)=(0;a;a).

Скалярное произведение: BA₁BC₁=(-a)(0)+0(a)+a(a)=0+0+a²=a².

д) Векторы A₁O₁ и A₁C₁.

Координаты векторов: A₁O₁=O₁-A₁=(a/2;a/2;a)-(0;0;a)=(a/2;a/2;0). A₁C₁=C₁-A₁=(a;a;a)-(0;0;a)=(a;a;0).

Скалярное произведение: A₁O₁A₁C₁=a/2a+a/2a+0(0)=a²/2+a²/2=a².

е) Векторы D₁O₁ и B₁O₁.

Координаты векторов: D₁O₁=O₁-D₁=(a/2;a/2;a)-(0;a;a)=(a/2;-a/2;0). B₁O₁=O₁-B₁=(a/2;a/2;a)-(a;0;a)=(-a/2;a/2;0).

Скалярное произведение: D₁O₁B₁O₁=a/2(-a/2)+(-a/2)(a/2)+0(0)=-a²/4-a²/4=-a²/2.

ж) Векторы BO₁ и C₁B.

Координаты векторов: BO₁=O₁-B=(a/2;a/2;a)-(a;0;0)=(-a/2;a/2;a). C₁B=B-C₁=(a;0;0)-(a;a;a)=(0;-a;-a).

Скалярное произведение: BO₁C₁B=(-a/2)(0)+a/2(-a)+a(-a)=0-a²/2-a²=-3a²/2.

Проверка.

Результаты согласуются с геометрическим смыслом. Например, в пункте в) вектор D₁B является диагональю куба, а AC — диагональю основания. Диагональ куба перпендикулярна диагонали основания, поэтому их скалярное произведение равно нулю, что мы и получили. В пункте а) векторы AD и B₁C₁ параллельны и сонаправлены, их длины равны a, значит произведение равно a². Все вычисления верны.

Ответ

а) a²

б) -2a²

в) 0

г) a²

д) a²

е) -a²/2

ж) -3a²/2

Использован метод координат. Введена система координат с началом в точке A. Координаты всех точек и векторов найдены точно. Скалярные произведения вычислены по формуле суммы произведений соответствующих координат.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 684 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 684?

Краткий ответ: а) a^2; б) -2a^2; в) 0; г) a^2; д) a^2; е) - a^22; ж) - 3a^22.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.