ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 687: Метод координат в пространстве
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Даны векторы a{3; -1; 1}, b{-5; 1; 0} и c{-1; -2; 1}. Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами
а) a и b
б) b и c
в) a и c.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для определения вида угла между двумя векторами в пространстве достаточно вычислить их скалярное произведение. Если скалярное произведение положительно, угол острый; если равно нулю — прямой; если отрицательно — тупой. Формула скалярного произведения для векторов u{x1;y1;z1} и v{x2;y2;z2} имеет вид: u·v=x1x2+y1y2+z1z2
Рассмотрим каждый пункт отдельно.
а) Угол между векторами a и b.
Даны координаты a{3;-1;1} и b{-5;1;0}. Вычислим скалярное произведение:
- a·b=3·(-5)+(-1)·1+1·0
- a·b=-15-1+0=-16
Так как -16<0, то косинус угла между векторами отрицателен, следовательно, угол является тупым .
б) Угол между векторами b и c.
Даны координаты b{-5;1;0} и c{-1;-2;1}. Вычислим скалярное произведение:
- b·c=(-5)·(-1)+1·(-2)+0·1
- b·c=5-2+0=3
Так как 3>0, то косинус угла между векторами положителен, следовательно, угол является острым .
в) Угол между векторами a и c.
Даны координаты a{3;-1;1} и c{-1;-2;1}. Вычислим скалярное произведение:
- a·c=3·(-1)+(-1)·(-2)+1·1
- a·c=-3+2+1=0
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, угол является прямым .
а) Тупой
б) Острый
в) Прямой
Использовано свойство знака скалярного произведения для классификации углов. Расчёты выполнены строго по заданным координатам.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 687 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 687?
Краткий ответ: а) Тупой; б) Острый; в) Прямой.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Метод координат в пространстве.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.