ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 686: Метод координат в пространстве

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Сначала запишем заданные векторы в координатной форме:

a={3;-5;1}, так как a=3i-5j+k.

b={0;1;-5}, так как b=j-5k (коэффициент при i равен 0).

Напомним, что скалярное произведение двух векторов u={x₁;y₁;z₁} и v={x₂;y₂;z₂} вычисляется по формуле: uv=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

а) Вычислим ab

Подставим координаты векторов a и b:

ab=3·0+(-5)·1+1·(-5)

ab=0-5-5=-10

б) Вычислим ai

Вектор i имеет координаты {1;0;0}. Умножаем на него вектор a={3;-5;1}:

ai=3·1+(-5)·0+1·0

ai=3+0+0=3

в) Вычислим bj

Вектор j имеет координаты {0;1;0}. Умножаем на него вектор b={0;1;-5}:

bj=0·0+1·1+(-5)·0

bj=0+1+0=1

г) Вычислим (a+b)k

Сначала найдем координаты суммы векторов a+b:

a+b={3+0;-5+1;1+(-5)}={3;-4;-4}

Вектор k имеет координаты {0;0;1}. Теперь найдем скалярное произведение:

(a+b)k=3·0+(-4)·0+(-4)·1

(a+b)k=0+0-4=-4

д) Вычислим (a-2b)(k+i-2j)

Найдем координаты первого множителя c=a-2b:

2b={0;2;-10}

c={3-0;-5-2;1-(-10)}={3;-7;11}

Найдем координаты второго множителя d=k+i-2j. Перепишем его в стандартном порядке i,j,k:

d=1i-2j+1k={1;-2;1}

Теперь вычислим скалярное произведение cd:

cd=3·1+(-7)·(-2)+11·1

cd=3+14+11=28