ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 100: Первый признак равенства треугольников

План решения:

• Для пункта а) необходимо рассмотреть треугольники ABC и CDA, выделить в них соответствующие равные элементы (стороны и углы) и применить первый признак равенства треугольников.
• Для пункта б) использовать свойство равенства треугольников: у равных треугольников соответственные стороны равны. Нужно правильно установить соответствие вершин при записи равенства △ABC=△CDA.

Решение пункта а):

Рассмотрим треугольники ABC и CDA. По условию задачи дано, что сторона BC равна стороне AD (BC=AD). Также известно, что угол 1 равен углу 2. На рисунке 59 (стандартная конфигурация для этой задачи) угол 1 является углом βACB или βCAD? Обычно в таких задачах угол 1 и угол 2 — это внутренние накрест лежащие углы при секущей AC, то есть βBCA=βDAC (или наоборот, в зависимости от нумерации, но суть одна: они лежат между известными сторонами и общей стороной).

Давайте уточним стандартную трактовку рисунка 59 из учебника Атанасяна/Погорелова для №100. Угол 1 обычно обозначает βBCA, а угол 2 — βDAC (или наоборот, важно лишь то, что они образованы сторонами BC,AC и AD,AC соответственно). Таким образом, мы имеем:

1. BC=AD (по условию);
2. βBCA=βDAC (так как β1=β2 по условию);
3. AC=CA (общая сторона).

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и включённому между ними углу). В первом треугольнике угол βBCA заключён между сторонами BC и AC, во втором треугольнике угол βDAC заключён между сторонами AD и AC. Все три элемента совпадают.

Решение пункта б):

Так как △ABC=△CDA, то их соответственные стороны равны. Важно правильно определить соответствие вершин. Из доказательства равенства видно, что:

• Вершина A первого треугольника соответствует вершине C второго;
• Вершина B первого треугольника соответствует вершине D второго;
• Вершина C первого треугольника соответствует вершине A второго.

Запишем равенство сторон:

Нам даны значения: AD=17 см, DC=14 см.

Из равенства BC=DA следует, что BC=AD=17 см.

Из равенства AB=CD следует, что AB=DC=14 см.

Проверка:

Убедимся, что логика не нарушена. Если треугольники равны, то сторона, противолежащая общему основанию в одном треугольнике, должна быть равна аналогичной стороне в другом. Сторона AB соединяет вершины A и B. В равном треугольнике ей соответствует сторона, соединяющая соответственные вершины C и D, то есть CD. Значит, AB=CD=14. Сторона BC соединяет B и C. Ей соответствует сторона DA (соединяющая D и A). Значит, BC=DA=17. Ответы согласуются с условием.