ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 102: Первый признак равенства треугольников

План решения.

Для доказательства равенства треугольников ABC и CDA воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Нам необходимо найти три пары равных элементов: две стороны и угол между ними. Условие задачи сообщает о том, что отрезки AC и BD делятся точкой пересечения пополам. Обозначим точку пересечения за O. Из этого факта следует равенство соответствующих половин отрезков. Также нужно учесть вертикальные углы при пересечении прямых.

Ход доказательства.

1. По условию задачи отрезки AC и BD пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Это означает, что: AO=OC BO=OD

2. Рассмотрим треугольники ABO и CDO. В них:

• AO=OC (по условию);
• BO=OD (по условию);
• ∠AOB=∠COD (как вертикальные углы).

Следовательно, △ABO=△CDO по первому признаку равенства треугольников.

3. Из равенства треугольников ABO и CDO следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

4. Теперь перейдем к доказательству равенства исходных треугольников ABC и CDA. Рассмотрим эти треугольники:

• AB=CD (доказано выше);
• BC=DA (аналогично доказывается через равенство △BCO=△DAO, так как BO=OD, OC=OA и ∠BOC=∠DOA — вертикальные углы);
• AC=CA (общая сторона).

Однако, чтобы строго использовать первый признак для треугольников ABC и CDA, нам нужны две стороны и угол между ними. Давайте перегруппируем данные. Рассмотрим △ABC и △CDA. Из равенства △ABO=△CDO мы получили AB=CD и ∠BAO=∠DCO (соответственные углы). Заметим, что ∠BAO — это тот же угол, что и ∠BAC, а ∠DCO — это тот же угол, что и ∠DCA. Также из условия AO=OC и того, что точка O лежит на AC, следует, что сторона AC общая для обоих треугольников? Нет, в треугольниках ABC и CDA сторона AC является общей стороной только если мы рассматриваем их как части четырехугольника, но в формулировке «треугольник ABC равен треугольнику CDA» обычно подразумевается соответствие вершин A↔C, B↔D, C↔A. Давайте проверим соответствие вершин. Если △ABC=△CDA, то: AB=CD BC=DA AC=CA (это верно) Углы: ∠BAC=∠DCA, ∠BCA=∠DAC, ∠ABC=∠CDA. Мы уже знаем, что △ABO=△CDO, откуда AB=CD и ∠BAC=∠DCA. Аналогично, рассмотрим △BCO и △DAO: BO=OD (по условию), CO=OA (по условию), ∠BOC=∠DOA (вертикальные углы). Значит, △BCO=△DAO по первому признаку. Отсюда следует, что BC=DA и ∠BCA=∠DAC. Теперь вернемся к треугольникам ABC и CDA. В △ABC и △CDA: 1) AB=CD (из равенства △ABO=△CDO); 2) ∠BAC=∠DCA (из равенства △ABO=△CDO); 3) AC=CA (общая сторона). По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними: сторона AB, сторона AC и угол ∠BAC в первом; сторона CD, сторона CA и угол ∠DCA во втором), получаем: △ABC=△CDA

Проверка.

Логика построена верно. Сначала через вспомогательные малые треугольники (ABO и CDO) установлены равенства сторон AB=CD и углов ∠BAC=∠DCA. Затем использована общая сторона AC. Таким образом, выполнены все условия первого признака равенства треугольников для больших треугольников ABC и CDA. Соответствие вершин A-C,B-D,C-A соблюдено.