ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 110: 18. Свойства равнобедренного треугольника

План решения:

• Для пункта а) рассмотрим треугольники ABD и CDB. Нам дано, что AB⊥a и CD⊥a, значит, углы ∠ABD и ∠CDB являются прямыми (90^°). Также по условию отрезки AB и CD равны. Сторона BD является общей для обоих треугольников.
• Используем признак равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), чтобы доказать их конгруэнтность, из чего следует равенство соответствующих элементов.
• Для пункта б) используем свойства равнобедренного треугольника, который образуется при доказательстве равенства в пункте а), и сумму углов треугольника.

Вычисление и доказательства:

а) Рассмотрим △ABD и △CDB. Так как AB⊥BD и CD⊥BD (так как B и D лежат на прямой a), то ∠ABD=90^° и ∠CDB=90^°. По условию задачи AB=CD. Сторона BD общая для этих двух треугольников. Следовательно, △ABD=△CDB по признаку равенства прямоугольных треугольников (равенство двух катетов). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ADB=∠CBD и ∠BAD=∠DCB. Однако в условии требуется доказать равенство углов ∠ABD и ∠CDB. Поскольку оба они прямые (90^°), они равны между собой автоматически. Но более глубоким следствием равенства треугольников является равенство гипотенуз AD=CB и острых углов. Если же задача подразумевает доказательство через параллельность или другие свойства, то прямое утверждение о равенстве прямых углов тривиально. Вероятно, здесь опечатка в формулировке «доказать», так как это дано перпендикулярностью. Тем не менее, строго по геометрии: ∠ABD=90^° и ∠CDB=90^°, следовательно, ∠ABD=∠CDB. Доказано.

б) Из равенства △ABD=△CDB (доказанного выше) следует, что соответствующие стороны равны: AD=CB. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как AB=CD и AB∥CD (оба перпендикулярны одной прямой), то ABCD — параллелограмм. Более того, так как углы при основании прямые, это прямоугольник? Нет, точки A и C лежат по одну сторону, но AB и CD могут быть смещены. Однако мы знаем, что AD=BC. Треугольник ABC или ADC? Давайте посмотрим на треугольник ABC. В пункте б) спрашивается найти ∠ABC. Мы знаем, что ∠ABD=90^°. Угол ∠ABC состоит из угла ∠ABD и угла ∠DBC? Нет, точка C лежит где-то сверху. Прямая a содержит точки B и D. AB перпендикулярен a. Значит, угол ∠ABD — это угол между отрезком AB и прямой a. Он равен 90^°. Но вопрос про ∠ABC. Это угол внутри треугольника ABC? Давайте разберемся с конфигурацией. AB⊥BD, CD⊥BD. AB=CD. Тогда ABDC — прямоугольная трапеция (или прямоугольник, если AC∥BD). Но так как AB=CD и они перпендикулярны основанию, то ABDC — прямоугольник только если AC соединяет верхние концы. В любом случае, AD=BC (диагонали/боковые стороны). Рассмотрим △BCD. Он прямоугольный (∠CDB=90^°). Из равенства △ABD=△CDB следует, что ∠ADB=∠CBD. По условию ∠ADB=44^°. Значит, ∠CBD=44^°. Теперь найдем ∠ABC. Угол ∠ABC можно представить как сумму ∠ABD+∠DBC? Нет, луч BA перпендикулярен прямой BD. Луч BC идет под углом к прямой BD. Точки A и C по одну сторону от прямой a. Значит, углы ∠ABD и ∠CBD отложены от прямой a в одну полуплоскость? Нет, AB перпендикулярен, значит A находится «вертикально» над B. C находится «вертикально» над D. Отрезок BC соединяет B и C. Угол ∠CBD — это угол между диагональю BC и основанием BD. Мы нашли, что ∠CBD=44^°. Угол ∠ABC — это угол между стороной AB и диагональю BC. Так как ∠ABD=90^°, то ∠ABC=∠ABD-∠CBD (если C ближе к вертикали, чем A?) Или ∠ABC=∠ABD+∠DBC? Посмотрим на чертеж мысленно. B слева, D справа. A над B, C над D. Треугольник ABD: катет AB, катет BD. Угол ADB при вершине D. Треугольник CDB: катет CD, катет BD. Угол CBD при вершине B. Из равенства треугольников △ABD=△CDB следует, что угол ∠ADB (против катета AB) равен углу ∠CBD (против катета CD). Так как AB=CD, то эти углы равны. Дано ∠ADB=44^°, значит ∠CBD=44^°. Теперь угол ∠ABC. Это угол между отрезком AB и отрезком BC. Отрезок AB перпендикулярен прямой BD. Отрезок BC образует с прямой BD угол ∠CBD=44^°. Так как A и C лежат по одну сторону от прямой a, то лучи BA и BC находятся в одной полуплоскости относительно прямой a. Угол ∠ABD=90^°. Угол ∠CBD=44^°. Луч BC лежит внутри прямого угла ∠ABD? Да, потому что C имеет ту же высоту, что и A, но смещено вправо. Горизонтальная проекция BC длиннее, чем горизонтальная проекция BA (которая 0)? Нет. Координаты: B(0,0), D(d,0), A(0,h), C(d,h). Вектор BA=(0,h). Вектор BC=(d,h). Угол между ними косинус равен h/d²+h². А угол ∠CBD — это угол между вектором BC(d,h) и вектором BD(d,0). Тангенс этого угла h/d. По условию tan(∠ADB)=AB/BD=h/d. Значит ∠ADB=arctan(h/d). И ∠CBD=arctan(h/d). Они равны. Дано 44^°. Значит угол наклона BC к горизонтали 44^°. Угол наклона BA к горизонтали 90^°. Разница углов ∠ABC=90^°-44^°=46^°. Проверим логику: ∠ABC=∠ABD-∠CBD. Так как ∠ABD=90^° и ∠CBD=44^°, то ∠ABC=90^°-44^°=46^°.

Проверка:

1. Равенство треугольников ABD и CDB корректно по двум катетам (AB=CD, общий BD). 2. Соответствие углов: ∠ADB соответствует ∠CBD. Численно верно. 3. Геометрическая интерпретация угла ∠ABC: он является частью прямого угла ∠ABD. Вычитание угла ∠CBD из 90^° дает правильный ответ для угла между вертикалью AB и наклонной BC.