ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 103: Первый признак равенства треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Ольга Кузнецова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Даны треугольники ABC и A1B1C1, в которых AB=A1B1, AC=A1C1, угол A равен углу A1. На сторонах AB и A1B1 отмечены точки P и P1 так, что AP=A1P1. Доказать, что треугольник BPC равен треугольнику B1P1C1.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы доказать равенство треугольников BPC и B1P1C1, нам необходимо найти три соответствующих равных элемента (две стороны и угол между ними или три стороны). Из условия мы знаем равенства сторон исходных больших треугольников. Нам нужно выразить стороны малых треугольников через данные величины и использовать признак равенства треугольников.
Ход доказательства.
- Рассмотрим отрезки PB и P1B1. Так как точка P лежит на стороне AB, то PB=AB-AP. Аналогично для второго треугольника: P1B1=A1B1-A1P1.
- По условию дано, что AB=A1B1 и AP=A1P1. Следовательно, разности равных величин также равны: PB=P1B1.
- Теперь сравним углы при вершинах A и A1. По условию △ABC=△A1B1C1 по первому признаку равенства (так как AB=A1B1, AC=A1C1 и A=A1). Однако нам не обязательно доказывать равенство больших треугольников целиком, чтобы получить нужные элементы для малых. Нам важно равенство углов A и A1, которое дано в условии.
- Вспомним, что в треугольниках ABC и A1B1C1 угол A образован сторонами AB и AC, а угол A1 — сторонами A1B1 и A1C1. В наших целевых треугольниках BPC и B1P1C1 угол при вершине C и C1 нам пока неизвестен напрямую, но давайте посмотрим на другой подход. Мы хотим доказать равенство △BPC и △B1P1C1. Какие стороны у них есть? Сторона BC и B1C1, сторона PC и P1C1, сторона PB и P1B1.
- Давайте сначала докажем равенство треугольников APC и A1P1C1. У них: AP=A1P1 (по условию), AC=A1C1 (по условию), A=A1 (по условию). Значит, △APC=△A1P1C1 по первому признаку равенства треугольников.
- Из равенства △APC=△A1P1C1 следует, что соответствующие стороны равны: PC=P1C1. Также равны соответствующие углы, например, ACP=A1C1P1.
- Вернемся к большим треугольникам ABC и A1B1C1. Так как AB=A1B1, AC=A1C1 и A=A1, то △ABC=△A1B1C1 по первому признаку. Отсюда следует равенство соответствующих сторон: BC=B1C1. И равенство соответствующих углов: ACB=A1C1B1.
- Теперь рассмотрим треугольники BPC и B1P1C1. У нас есть три пары равных элементов:
- PB=P1B1 (доказано в п. 2);
- PC=P1C1 (доказано в п. 5);
- BC=B1C1 (доказано в п. 7).
- Следовательно, △BPC=△B1P1C1 по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Примечание: Можно было бы попытаться использовать первый признак для треугольников BPC и B1P1C1, найдя угол B и B1. Из равенства △ABC=△A1B1C1 следует, что B=B1. Тогда имеем: PB=P1B1, BC=B1C1 и угол между ними B=B1. Это тоже корректное доказательство по первому признаку.
Доказано
а) PB=P1B1 из равенств AB=A1B1 и AP=A1P1.
б) BC=B1C1 и B=B1 из равенства △ABC=△A1B1C1 (1-й признак).
в) △BPC=△B1P1C1 по первому признаку равенства треугольников (PB=P1B1, BC=B1C1, B=B1).
Задача требует последовательного применения признаков равенства треугольников. Сначала устанавливается равенство частей сторон, затем используется равенство исходных треугольников для получения данных о сторонах и углах целевых треугольников.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 103 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 103?
Краткий ответ: Доказано: 1) PB = P1B1 из равенств AB=A1B1 и AP=A1P1. 2) BC = B1C1 и B = B1 из равенства ABC = A1B1C1 (1-й признак). 3) BPC = B1P1C1 по первому признаку равенства треугольников (PB=P1B1, BC=B1C1, B= B1).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Первый признак равенства треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.