ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 111: 18. Свойства равнобедренного треугольника

План решения:

• Для пункта а) необходимо доказать равенство треугольников ABD и ECD. Используем признак равенства по двум сторонам и углу между ними (I признак). Нужно найти три пары равных элементов: стороны AD и DE, стороны BD и DC (так как AD — медиана), и вертикальные углы при точке D.
• Для пункта б) используем следствие из равенства треугольников: соответствующие углы равны. Найдём △ABD=△ECD, откуда следует равенство углов △BAD и △CED или других пар. Однако нам нужен угол △ACE. Заметим, что △ACE состоит из двух частей или связан с внешним углом. Проще всего: из равенства △ABD=△ECD следует, что △ABD=△ECD (углы при вершинах B и C? Нет, соответствие вершин: A→E B→C D→D). Значит, △ABD=△ECD неверно в записи углов, верно △ABD=△ECD означает △ABD соответствует △ECD. Угол △ABD равен углу △ECD. Нам дан △ABD=40^o, значит △ECD=40^o. Угол △ACE можно найти, зная △ACD и △ECD? Нет, точка E лежит на продолжении AD. Треугольник ACE имеет вершины A, C, E. Угол △ACE — это угол при вершине C в треугольнике ACE. Он складывается из угла △ACD и угла △DCE? Посмотрим на расположение точек. D лежит на AC? Нет, D на BC. AD медиана к BC. E на продолжении AD за D. Тогда луч CD находится внутри угла ACE? Нет. Рассмотрим треугольник ACE. Сторона CE общая с треугольником ECD. Сторона AC общая с треугольником ACD. Угол △ACE — это угол между сторонами CA и CE. Так как точки A, D, E лежат на одной прямой, то угол △ACE не является суммой углов △ACD и △DCE напрямую, если только D не лежит внутри угла ACE. Но D лежит на стороне AE. Следовательно, луч CD выходит из вершины C к стороне AE. Поэтому угол △ACE действительно равен сумме углов △ACD и △DCE.

Вычисление:

1. Доказательство равенства треугольников (пункт а):
   Рассмотрим △ABD и △ECD.
   1) По условию, AD — медиана треугольника ABC, следовательно, точка D — середина стороны BC. Отсюда BD=DC.
   2) По условию построения, DE=AD.
   3) Углы △ADB и △EDC являются вертикальными, поэтому △ADB=△EDC.
   Таким образом, △ABD=△ECD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
2. Нахождение угла △ACE (пункт б):
   Из доказанного равенства △ABD=△ECD следует, что соответствующие углы равны. В частности, угол △ABD равен углу △ECD.
   По условию △ABD=40^o, значит, △ECD=40^o.
   Точки A,D,E лежат на одной прямой, причём D лежит между A и E. Луч CD проходит через внутреннюю часть угла △ACE (так как D лежит на стороне AE треугольника ACE).
   Следовательно, угол △ACE равен сумме углов △ACD и △DCE: △ACE=△ACD+△DCE
   Подставим известные значения: △ACD=56^o, △DCE=40^o. △ACE=56^o+40^o=96^o

Проверка:

• Логика доказательства по I признаку корректна: две стороны и включённый угол совпадают (BD=DC, AD=DE, △ADB=△EDC).
• Соответствие вершин при равенстве △ABD=△ECD: A→E, B→C, D→D. Угол при вершине B (△ABD) соответствует углу при вершине C (△ECD). Это верно.
• Геометрическое расположение: так как D лежит на отрезке AE, то луч CD делит угол △ACE на два угла △ACD и △DCE. Их сумма даёт искомый угол. Вычисление 56+40=96 верно.