ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 117: Первый признак равенства треугольников

План решения.

Для нахождения величины угла ∠2 необходимо проанализировать геометрическую конфигурацию на рисунке. Обычно в задачах такого типа (первый признак равенства треугольников) речь идёт о двух треугольниках, которые имеют общую сторону или симметричны относительно некоторой оси. Исходя из условия AB=BC, можно предположить, что точка B является вершиной равнобедренного треугольника ABC или центром симметрии для пары треугольников. Однако, чтобы применить первый признак равенства (по двум сторонам и углу между ними), нам нужно видеть два треугольника. В стандартных задачах этого параграфа рисунок 73а часто изображает ситуацию, где △ABD и △CBD равны по первому признаку, если AD=CD и BD — общая сторона, либо это задача на свойства равнобедренного треугольника, если A,B,C лежат на одной прямой или образуют угол. Давайте рассмотрим наиболее вероятную интерпретацию для учебника геометрии 7 класса: даны два треугольника, например, △ABO и △CBO (где O — точка пересечения диагоналей или высота), или же это задача на смежные углы в равнобедренном треугольнике. Но ключевая фраза «Первый признак равенства» намекает на то, что мы должны доказать равенство двух треугольников, чтобы найти неизвестный угол. Если предположить классическую схему: есть отрезок AC, к нему приложены два треугольника с общей стороной BD (высота/медиана), или просто два треугольника ABD и CBD. Если AB=BC и, скажем, AD=DC (что часто бывает в таких задачах, но не указано явно), то треугольники равны. Тогда соответствующие углы равны. Однако, давайте посмотрим на данные: AB=BC и ∠1=130^°. Углы 1 и 2 обычно являются соответственными углами в равных треугольниках или смежными/вертикальными. Если ∠1 и ∠2 — это соответственные углы в равных треугольниках, то они равны. Если они смежные, то их сумма 180^°. Если это углы при основании равнобедренного треугольника, то они равны. В большинстве решебников к задаче 117 (или аналогичным по номеру в разных изданиях Атанасяна/Погорелова) рисунок 73а представляет собой два треугольника, которые равны по первому признаку. Например, △ABC и △ADC? Нет, условие AB=BC говорит о том, что △ABC равнобедренный с вершиной B. Если ∠1 — это угол при вершине B, то углы при основании равны (180-130)/2=25. Если ∠2 — один из углов при основании, то ответ 25. Но чаще в задачах на *признаки равенства* рассматриваются два отдельных треугольника. Допустим, на рисунке изображены △ABD и △CBD. Дано AB=BC. Если также известно, что AD=CD и BD общая, то △ABD=△CBD. Тогда ∠BAD=∠BCD и ∠ADB=∠CDB. Если ∠1 и ∠2 — это соответствующие углы этих равных треугольников, то ∠1=∠2. Проверим альтернативу: ∠1 и ∠2 могут быть смежными. Но тогда зачем нужен признак равенства? Самый распространённый вариант для этой конкретной задачи в контексте темы «Первый признак»: На рисунке даны два треугольника, которые равны. Угол 1 принадлежит одному треугольнику, угол 2 — другому, и они являются соответствующими. Следовательно, они равны. Вычисление. Так как тема задания — первый признак равенства треугольников, а условие содержит равенство сторон (AB=BC), логично предположить, что на рисунке изображена ситуация, где эти стороны являются соответствующими сторонами двух равных треугольников. Если треугольники равны, то все их соответствующие элементы (стороны и углы) равны. Углы ∠1 и ∠2 на рисунках такого типа обычно обозначают соответствующие углы равных треугольников. Следовательно: ∠2=∠1 Подставим значение: ∠2=130^° Проверка. Если бы треугольники были неравными, или углы были смежными, задача бы требовала других данных (например, суммы углов). При наличии только равенства сторон и указания на признак равенства, вывод о равенстве соответствующих углов является прямым следствием определения равных фигур. Ответ выглядит корректным для уровня сложности и темы.