ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 116: 18. Свойства равнобедренного треугольника

План решения.

Чтобы доказать, что треугольник ABC равнобедренный, нам нужно показать равенство двух его сторон (AB=AC) или двух углов при основании (∠B=∠C). По условию дано, что точка D лежит на стороне BC (так как CD=BD, то D — середина BC, и отрезок AD является медианой), а также известно равенство углов ∠1=∠2. Обычно в таких задачах ∠1 и ∠2 обозначают углы при вершине A, разделённые медианой AD, то есть ∠BAD и ∠CAD. Если это так, мы можем воспользоваться признаками равенства треугольников для △ABD и △ACD.

Ход доказательства.

Рассмотрим два треугольника: △ABD и △ACD.
1. По условию задачи BD=CD. Это означает, что сторона BD одного треугольника равна стороне CD другого.
2. Сторона AD является общей для обоих треугольников (AD=AD).
3. По условию ∠1=∠2. Исходя из стандартной нумерации углов в подобных задачах, где проведена медиана к основанию, предположим, что ∠1=∠BAD и ∠2=∠CAD. Тогда угол между сторонами AB и AD равен углу между сторонами AC и AD? Нет, обычно ∠1 и ∠2 — это углы при основании или углы при вершине. Давайте внимательно посмотрим на типичную конфигурацию рисунка 72 в учебниках геометрии (например, Атанасян). Часто ∠1 и ∠2 — это углы ∠ADC и ∠ADB? Или ∠DAC и ∠DAB?
Если ∠1=∠BAD и ∠2=∠CAD, то у нас есть две стороны и не угол между ними (если мы не знаем равенство AB=AC, которое как раз надо доказать). Признак «две стороны и угол» работает только если угол находится между известными сторонами. Здесь известные стороны BD,AD и CD,AD. Угол ∠BAD не лежит между BD и AD. Поэтому такой путь может быть сложным без дополнительных данных.
Давайте рассмотрим другой вариант интерпретации рисунка, который чаще встречается в задаче 116: ∠1 и ∠2 — это углы при основании B и C? Нет, тогда доказательство тривиально.
Скорее всего, на рисунке ∠1 и ∠2 — это углы ∠ADC и ∠ADB? Если они равны, то так как они смежные, каждый равен 90^°, и AD — высота. Тогда по двум катетам прямоугольные треугольники равны.
Однако, наиболее вероятная ситуация для задачи «Доказать, что треугольник ABC равнобедренный», когда дано BD=CD и ∠1=∠2: часто ∠1 и ∠2 обозначают углы ∠DAC и ∠DAB? Нет, это не дает прямого признака.
Давайте предположим, что ∠1 и ∠2 — это углы ∠BDA и ∠CDA? Если ∠BDA=∠CDA, то так как ∠BDA+∠CDA=180^°, то каждый из них равен 90^°. Значит, AD⊥BC. В таком случае AD является и медианой, и высотой. Треугольник с медианой, которая является высотой, равнобедренный. Доказательство через равенство △ABD и △ACD по двум катетам (BD=CD, AD общая, углы прямые).

Альтернативная и более частая трактовка для №116:
В многих изданиях под ∠1 и ∠2 понимают углы ∠DAC и ∠DAB? Нет.
Давайте посмотрим на признак равенства треугольников по второму признаку (сторона и два прилежащих угла). Нам известны BD=CD. Если бы мы знали, что ∠B=∠C, то всё было бы просто. Но этого нет.
Если ∠1 и ∠2 — это углы ∠ADB и ∠ADC, то решение следующее:
Так как точки B,D,C лежат на одной прямой, то ∠ADB+∠ADC=180^°.
По условию ∠1=∠2, значит ∠ADB=∠ADC.
Отсюда следует, что 2∠ADB=180^°⇒∠ADB=90^°. Аналогично ∠ADC=90^°.
Теперь сравним △ABD и △ACD:
1) BD=CD (по условию);
2) AD — общая сторона;
3) ∠ADB=∠ADC=90^°.
Значит, △ABD=△ACD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: AB=AC.
Если AB=AC, то треугольник ABC равнобедренный по определению.

Проверка.

Логика верна. Если углы при точке D равны и являются смежными, то они прямые. Медиана, являющаяся высотой, делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, откуда следует равенство боковых сторон. Условие выполнено полностью.