ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 121: Первый признак равенства треугольников

План доказательства:

Чтобы доказать равенство всех трёх углов равностороннего треугольника, воспользуемся первым признаком равенства треугольников. Нам нужно показать, что любые два угла в таком треугольнике равны. Для этого мы можем провести медиану (или высоту) к одной из сторон и рассмотреть получившиеся два треугольника.

Ход решения:

Пусть дан равносторонний треугольник ABC, то есть его стороны равны: AB=BC=AC.

1. Проведём отрезок BD из вершины B к стороне AC так, чтобы точка D была серединой стороны AC. Тогда AD=DC.
2. Рассмотрим два треугольника: △ABD и △CBD.
3. В этих треугольниках:
   • AB=CB (так как треугольник ABC равносторонний);
   • AD=CD (по построению, BD — медиана);
   • BD — общая сторона.
4. Следовательно, △ABD=△CBD по первому признаку равенства треугольников (по трём сторонам).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C (углы при основании AC).

Аналогично можно доказать, что ∠B=∠C или ∠A=∠B. Например, проведя медиану из вершины A к стороне BC, мы получим равенство △ABM=△ACM, откуда ∠B=∠C.

Проверка и вывод:

Мы доказали, что ∠A=∠C и ∠B=∠C. По транзитивности равенства величин следует, что ∠A=∠B=∠C. Таким образом, все три угла в равностороннем треугольнике равны между собой. Что и требовалось доказать.