ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 125: Первый признак равенства треугольников

План решения:

• Используем свойства равнобедренного треугольника и медианы, проведённой к основанию.
• Для пункта а) найдём равные стороны и углы в треугольниках △BDE и △BDF, чтобы применить первый признак равенства (по двум сторонам и углу между ними).
• Для пункта б) аналогично выделим равные элементы в треугольниках △ADE и △CDF.

Решение пункта а): Доказательство равенства △BDE=△BDF

Так как △ABC — равнобедренный с основанием AC, то боковые стороны равны: AB=BC. Углы при основании также равны: ∠A=∠C.

Медиана BD проведена к основанию AC. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, она делит основание пополам (AD=DC) и перпендикулярна ему (BD⊥AC), но для доказательства нам важнее другое следствие: медиана делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника, или же мы можем использовать равенство отрезков боковых сторон.

Рассмотрим отрезки BE и BF. Так как E лежит на AB, а F на CB, то BE=AB-AE и BF=CB-CF. По условию дано, что AE=CF. Поскольку AB=CB, то разности равных величин равны: BE=BF.

Теперь сравним треугольники △BDE и △BDF: 1. Сторона BD — общая. 2. Стороны BE=BF (доказано выше). 3. Угол ∠EBD равен углу ∠FBD, так как медиана BD в равнобедренном треугольнике является биссектрисой угла при вершине B.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) следует, что △BDE=△BDF.

Решение пункта б): Доказательство равенства △ADE=△CDF

Сравним треугольники △ADE и △CDF: 1. Сторона AD=DC, так как BD — медиана, которая делит основание AC пополам. 2. Сторона AE=CF по условию задачи. 3. Угол ∠DAE (он же ∠A) равен углу ∠DCF (он же ∠C), так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Таким образом, у этих треугольников две стороны и угол между ними соответственно равны. По первому признаку равенства треугольников получаем, что △ADE=△CDF.

Проверка:

Логика построена верно: использованы все данные условия (равнобедренность, медиана, равенство отрезков). Признак равенства применён корректно в обоих случаях. В пункте а) ключевым было понимание того, что медиана к основанию является биссектрисой, а в пункте б) — равенство углов при основании.