ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 127: 20. Третий признак равенства треугольников

План решения:

Для доказательства равенства треугольников ABC и CDA воспользуемся третьим признаком равенства треугольников (по трём сторонам). Нам нужно установить равенство соответствующих сторон. Из условия известно равенство углов ∡1=∡2 и ∡3=∡4. Эти углы являются углами при основании диагонали AC, которая является общей стороной для обоих треугольников. Однако третий признак требует равенства трёх пар сторон. Давайте внимательно посмотрим на структуру задачи. Обычно в таких задачах с рисунком 59 подразумевается, что углы 1 и 2 — это ∡BAC и ∡DCA (или аналогичные внутренние накрест лежащие), а углы 3 и 4 — ∡BCA и ∡DAC. Если ∡1=∡2 и ∡3=∡4, то мы можем использовать второй признак (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как сторона AC общая.

Но тема задания — «Третий признак». Это может означать, что нам сначала нужно доказать равенство сторон через другие признаки или свойства, либо условие предполагает использование свойств параллельных линий (если они есть) для получения равенства сторон. Перечитаем условие: угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. На стандартном чертеже четырёхугольника ABCD с диагональю AC: пусть ∡1=∡BAC, ∡2=∡DCA, ∡3=∡BCA, ∡4=∡DAC. Тогда ∡BAC=∡DCA и ∡BCA=∡DAC. Сторона AC общая. Треугольники равны по второму признаку (сторона и два прилежащих угла). После доказательства равенства треугольников, из равенства следует равенство соответствующих сторон: AB=CD и BC=AD. Вот здесь и применяется логика, связанная со сторонами.

Однако, если строго следовать теме «Третий признак», возможно, в условии опущено, что AB=CD и BC=AD даны? Нет, пункт б) просит найти их длины. Значит, пункт а) должен быть доказан. Доказательство через второй признак корректно математически, даже если тема главы про третий. Но давайте проверим, можно ли применить третий признак напрямую. Для этого нужны три пары равных сторон. У нас есть только одна общая сторона AC. Равенство других сторон (AB=CD,BC=AD) является следствием равенства треугольников, а не исходным данным. Следовательно, доказывать равенство треугольников нужно через углы (второй признак), а затем использовать свойство равных треугольников для нахождения сторон в пункте б).

Вычисление и доказательство:

а) Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

• ∡BAC=∡DCA (по условию ∡1=∡2, где эти углы расположены при вершинах A и C относительно диагонали AC);
• ∡BCA=∡DAC (по условию ∡3=∡4);
• Сторона AC является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники ABC и CDA равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Примечание: хотя тема раздела посвящена третьему признаку, данное конкретное условие с равенством углов естественно решается через второй признак. Результат равенства треугольников позволяет сделать выводы о сторонах.

Из равенства треугольников △ABC=△CDA следует равенство соответствующих элементов:

б) Нам дано: AD=19 см, CD=11 см.

Используя установленные выше соотношения:

1. Длина стороны AB равна длине стороны CD: AB=CD=11 см
2. Длина стороны BC равна длине стороны AD: BC=AD=19 см

Проверка:

Если треугольники равны, то их соответствующие стороны должны быть равны. Мы нашли AB=11 и BC=19. В треугольнике CDA стороны CD=11 и AD=19. Соответствие соблюдено: AB соответствует CD, BC соответствует AD, AC соответствует CA. Логика верна.