ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 136: 20. Третий признак равенства треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В треугольниках DEF и MNP стороны EF=NP, DF=MP и углы F=P. Биссектрисы углов E и D пересекаются в точке O, а биссектрисы углов M и N — в точке K. Нужно доказать, что угол DOE равен углу MKN.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Доказать равенство треугольников DEF и MNP по третьему признаку (по трём сторонам), используя данные условия.
- Из равенства треугольников сделать вывод о равенстве соответствующих углов: д E= д M и д D= д N.
- Рассмотреть треугольники DOE и MKN, образованные биссектрисами. Найти их углы при вершинах D,E и M,N соответственно.
- Доказать равенство треугольников DOE и MKN по второму признаку (по стороне и двум прилежащим к ней углам) или через сумму углов в треугольнике, чтобы получить д DOE= д MKN.
Вычисление и доказательства:
1. Рассмотрим треугольники DEF и MNP. По условию дано: EF=NP, DF=MP. Также известно, что д F= д P. Однако для третьего признака равенства треугольников нужно равенство трёх пар сторон. В условии не сказано явно про DE=MN. Давайте перечитаем условие внимательно: «В треугольниках DEF и MNP стороны EF=NP, DF=MP и углы F=P». Это набор данных для второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам? Нет, угол F лежит между сторонами EF и DF. Угол P лежит между сторонами NP и MP). Значит, мы можем применить второй признак равенства треугольников: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Здесь: сторона EF равна стороне NP, д F= д P. Но нам нужна ещё одна пара прилежащих углов или другая сторона. В условии дано DF=MP. Это две пары сторон и угол между ними (д F — угол между EF и DF, д P — угол между NP и MP). Следовательно, треугольники DEF и MNP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
2. Из равенства д DEF= д MNP следует, что все соответствующие элементы равны. В частности, соответствующие углы: д E= д M, д D= д N.
3. Теперь рассмотрим треугольники DOE и MKN. Точка O — точка пересечения биссектрис углов E и D треугольника DEF. Значит, отрезки EO и DO являются биссектрисами. Тогда: д DEO=1/2 д E, д EDO=1/2 д D. Аналогично, точка K — точка пересечения биссектрис углов M и N треугольника MNP. Отрезки MK и NK — биссектрисы. Тогда: д NMK=1/2 д M, д MNK=1/2 д N.
4. Так как д E= д M и д D= д N, то их половины также равны: д DEO= д NMK, д EDO= д MNK.
5. Нам нужно доказать равенство углов д DOE и д MKN. Эти углы являются третьими углами в треугольниках DOE и MKN соответственно. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Для д DOE: д DOE=180°-(д DEO+ д EDO). Для д MKN: д MKN=180°-(д NMK+ д MNK). Поскольку слагаемые в скобках равны (д DEO= д NMK и д EDO= д MNK), то и разности равны. Следовательно: д DOE= д MKN.
Проверка:
Логика построена верно. Сначала установлено равенство исходных больших треугольников по первому признаку (две стороны и угол между ними). Затем использовано свойство соответственных элементов равных треугольников (углы равны). Далее применено определение биссектрисы (делит угол пополам). Наконец, использована теорема о сумме углов треугольника для нахождения неизвестного угла через два известных. Все шаги обоснованы аксиомами и теоремами геометрии 7 класса.
а) Треугольники DEF и MNP равны по первому признаку (две стороны и угол между ними).
б) Соответственные углы равны: ∠E = ∠M, ∠D = ∠N.
в) Половины этих углов равны, поэтому третьи углы в треугольниках, образованных биссектрисами, также равны: ∠DOE = ∠MKN.
В условии задачи номер 136 обычно подразумевается использование признаков равенства треугольников. Здесь ключевой момент — правильно определить признак равенства исходных треугольников DEF и MNP. Даны две пары сторон (EF=NP, DF=MP) и угол между ними (∠F=∠P). Это первый признак равенства треугольников. Далее из равенства треугольников следует равенство остальных углов. Биссектрисы делят эти углы пополам, сохраняя равенство половин. Искомые углы DOE и MKN находятся как третьи углы в малых треугольниках, которые равны между собой по второму признаку (сторона DE=MN и прилежащие углы равны) или просто через вычитание суммы двух углов из 180 градусов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 136 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 136?
Краткий ответ: а) Треугольники DEF и MNP равны по первому признаку (две стороны и угол между ними). б) Соответственные углы равны: ∠E = ∠M, ∠D = ∠N. в) Половины этих углов равны, поэтому третьи углы в треугольниках, образованных биссектрисами, также равны: ∠DOE = ∠MKN.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 20. Третий признак равенства треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.