ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 137: 20. Третий признак равенства треугольников

План решения.

Для доказательства того, что треугольник AMN равнобедренный, необходимо показать равенство двух его сторон (AM=AN) или двух углов при основании. Поскольку в условии дана биссектриса угла и перпендикуляр к ней, логично рассмотреть два треугольника, на которые эта перпендикулярная прямая делит исходную фигуру: △AOM и △AON, где O — точка пересечения биссектрисы и прямой MN. Мы будем использовать третий признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), так как у нас есть общая сторона и известные углы.

Ход доказательства.

1. Пусть AO — биссектриса угла A, а прямая MN пересекает её в точке O под прямым углом (MN⊥AO).

2. Рассмотрим треугольники △AOM и △AON:

• AO — общая сторона этих треугольников;
• ∠MAO=∠NAO, так как AO является биссектрисой угла A;
• ∠AOM=∠AON=90^°, по условию задачи прямая MN перпендикулярна биссектрисе AO.

3. Таким образом, треугольники △AOM и △AON равны по третьему признаку равенства треугольников (по стороне AO и двум прилежащим к ней углам ∠MAO,∠AOM и ∠NAO,∠AON).

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM=AN.

Вывод.

Так как две стороны треугольника AMN равны (AM=AN), то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.