ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 138: 20. Третий признак равенства треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать утверждение: если биссектриса треугольника одновременно является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства утверждения нам потребуется рассмотреть произвольный треугольник ABC, в котором проведена биссектриса AD. По условию эта же отрезок является высотой. Наша задача — показать, что две боковые стороны этого треугольника равны (AB=AC), что и будет означать равнобедренность треугольника. Мы воспользуемся признаками равенства прямоугольных треугольников или общим третьим признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Ход доказательства.
Пусть дан треугольник ABC. Проведём биссектрису AD из вершины A к стороне BC. Так как AD является биссектрисой, то она делит угол A пополам:
∠BAD=∠CADТакже по условию AD является высотой, опущенной на сторону BC. Это значит, что AD перпендикулярна BC, следовательно, углы при основании D являются прямыми:
∠ADB=∠ADC=90°Теперь рассмотрим два получившихся треугольника: △ABD и △ACD. В них:
- ∠BAD=∠CAD (так как AD — биссектриса);
- AD — общая сторона;
- ∠ADB=∠ADC (оба угла прямые).
Следовательно, треугольники △ABD и △ACD равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон:
AB=ACЕсли в треугольнике две стороны равны, то он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.
Проверка.
Логика рассуждений не противоречит аксиомам геометрии. Мы использовали определение биссектрисы (равенство углов) и определение высоты (перпендикулярность). Применение второго признака равенства треугольников корректно, так как мы нашли общую сторону и два прилежащих к ней угла. Результат AB=AC однозначно указывает на равнобедренность исходного треугольника ABC.
Доказано: если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
В условии задачи упоминается 'третий признак', но для данного конкретного доказательства удобнее и стандартнее использовать второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), так как у нас есть общая сторона AD и два угла при ней. Третий признак (по трем сторонам) здесь применим только косвенно, после того как мы уже установили равенство сторон через другие признаки. Решение построено строго логично.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 138 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 138?
Краткий ответ: Доказано: если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 20. Третий признак равенства треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.