ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 142: 20. Третий признак равенства треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В треугольниках ABC и ADC известно, что BC=AD и AB=CD. Доказать равенство углов B и D, рассмотрев различные случаи расположения точек B и D относительно общей стороны AC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства равенства углов ∠B и ∠D в треугольниках ABC и ADC воспользуемся третьим признаком равенства треугольников (по трём сторонам). Нам дано, что BC=AD и AB=CD. Также обе фигуры имеют общую сторону AC.
Рассмотрим два возможных случая расположения точек B и D относительно прямой AC, так как это влияет на то, какие именно треугольники мы сравниваем или как они пересекаются, но не меняет сути доказательства через конгруэнтность исходных треугольников.
Случай 1: Точки B и D лежат по разные стороны от прямой AC.
В этом случае треугольники ABC и CDA (или ADC, если рассматривать порядок вершин для соответствия сторон) являются отдельными фигурами, прилегающими к общей стороне AC. Сравним △ABC и △CDA: 1. AB=CD (по условию); 2. BC=DA (по условию, так как AD=DA); 3. AC=CA (общая сторона). По третьему признаку равенства треугольников △ABC=△CDA. Из равенства треугольников следует равенство соответственных элементов. Углу B (∠ABC) соответствует угол D (∠CDA), так как они лежат против равных сторон AC. Следовательно, ∠B=∠D.
Случай 2: Точки B и D лежат по одну сторону от прямой AC.
Здесь важно отметить, что условие задачи говорит о треугольниках ABC и ADC. Если точки B и D находятся по одну сторону от AC, то эти треугольники перекрываются или один лежит внутри другого (если бы длины сторон отличались, но здесь пары сторон равны крест-накрест). Однако логика сравнения остаётся той же самой: мы рассматриваем два конкретных геометрических объекта — △ABC и △ADC. Сравним △ABC и △CDA (обратите внимание на порядок вершин для правильного сопоставления): 1. Сторона AB равна стороне CD (дано); 2. Сторона BC равна стороне DA (дано); 3. Сторона AC общая. Таким образом, △ABC=△CDA по трём сторонам. Соответственные углы при вершинах B и D равны. То есть ∠ABC=∠CDA. Это доказывает утверждение независимо от того, где физически расположены точки, лишь бы сами треугольники были заданы своими вершинами.
Проверка: Во всех случаях мы использовали только данные условия и аксиому/теорему о равенстве треугольников по трём сторонам. Равенство ∠B=∠D является прямым следствием конгруэнтности △ABC и △CDA. Никаких дополнительных построений не требуется, так как общая сторона AC замыкает цепочку равенств.
Доказательство: Рассмотрим △ABC и △CDA.
а) AB=CD (по условию)
б) BC=DA (по условию)
в) AC=CA (общая сторона) ⇒△ABC=△CDA по III признаку. ⇒∠B=∠D как соответственные элементы равных треугольников.
Задача требует внимательного отношения к порядку вершин при записи равенства треугольников. Чтобы угол B соответствовал углу D, нужно сопоставить вершину B с вершиной D. В треугольнике ABC угол B образован сторонами AB и BC. В другом треугольнике (ADC) угол D образован сторонами AD и DC. Так как AB=CD и BC=AD, то для корректного соответствия нужно записать второй треугольник как CDA (где сторона CD соответствует AB, а сторона DA соответствует BC). Общая сторона AC связывает их. Расположение точек (случаи) не меняет факта равенства самих треугольников как метрических объектов.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 142 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 142?
Краткий ответ: Доказательство: Рассмотрим ABC и CDA. 1) AB = CD (по условию) 2) BC = DA (по условию) 3) AC = CA (общая сторона) ABC = CDA по III признаку. B = D как соответственные элементы равных треугольников.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 20. Третий признак равенства треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.