ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 145: 20. Третий признак равенства треугольников

План решения.

Чтобы доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁, нам нужно найти три пары равных элементов. По условию уже даны две пары сторон: AB=A₁B₁ и AC=A₁C₁. Нам не хватает третьей стороны (BC=B₁C₁) или угла между известными сторонами. Поскольку даны медианы, логично использовать свойство медиан: они делят противоположную сторону пополам. Если мы докажем, что половины сторон BC и B₁C₁ равны (то есть MC=M₁C₁), то и целые стороны будут равны. Для этого рассмотрим вспомогательные треугольники ABM и A₁B₁M₁, а затем ACM и A₁C₁M₁? Нет, такой путь сложен из-за неизвестных углов при вершине A.

Давайте посмотрим на треугольники ABM и A₁B₁M₁. В них AB=A₁B₁, BM=B₁M₁. Но угол β между ними неизвестен. Этот путь тупиковый без дополнительных построений.

Попробуем другой подход. Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁? Нет. Давайте используем факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих, но это не про равенство фигур.

Вернемся к определению медианы. M — середина BC, значит BM=MC=1/2BC. Аналогично B₁M₁=M₁C₁=1/2B₁C₁.

Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁. У нас есть AB=A₁B₁ и BM=B₁M₁. Не хватает третьего элемента.

Рассмотрим треугольники ACM и A₁C₁M₁. У нас есть AC=A₁C₁ и CM=C₁M₁ (если предположить, что BC=B₁C₁, но это как раз то, что надо доказать).

Значит, прямой путь через сравнение половин сторон не работает, так как мы не знаем, равны ли сами стороны BC и B₁C₁.

Используем метод удвоения медианы или сравнение через третий признак для вспомогательных треугольников?

Давайте внимательно прочитаем условие еще раз. Даны AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ и медианы BM=B₁M₁.

Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁. Стороны AB и A₁B₁ равны, медианы BM и B₁M₁ равны. Что можно сказать о стороне AM? Это медиана к стороне BC в треугольнике ABC? Нет, BM — медиана к стороне AC? Нет, обычно медиана BM исходит из вершины B к стороне AC. Проверим стандартное обозначение. Медиана BM соединяет вершину B с серединой стороны AC. Тогда M лежит на AC.

Если M — середина AC, то AM=MC=1/2AC.

Аналогично, если M₁ — середина A₁C₁, то A₁M₁=M₁C₁=1/2A₁C₁.

Так как по условию AC=A₁C₁, то их половины тоже равны: AM=A₁M₁.

Теперь у нас есть все данные для применения третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам) к треугольникам ABM и A₁B₁M₁:

1. AB=A₁B₁ (по условию);
2. BM=B₁M₁ (по условию);
3. AM=A₁M₁ (так как M и M₁ — середины равных отрезков AC и A₁C₁).

Следовательно, △ABM=△A₁B₁M₁.

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: △BAM=△B₁A₁M₁. То есть угол △BAC равен углу △B₁A₁C₁ (так как точки M и M₁ лежат на сторонах AC и A₁C₁ соответственно, лучи AM и AC совпадают, лучи A₁M₁ и A₁C₁ совпадают).

Теперь вернемся к исходным треугольникам ABC и A₁B₁C₁. У нас есть:

1. AB=A₁B₁;
2. AC=A₁C₁;
3. △BAC=△B₁A₁C₁ (доказано выше).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) получаем △ABC=△A₁B₁C₁.

Вычисление и обоснование.

1. Так как BM и B₁M₁ — медианы, то M — середина AC, а M₁ — середина A₁C₁.

2. По условию AC=A₁C₁, следовательно, AM=A₁M₁.

3. Рассмотрим △ABM и △A₁B₁M₁:

• AB=A₁B₁ (дано);
• BM=B₁M₁ (дано);
• AM=A₁M₁ (доказано в п. 2).

4. Значит, △ABM=△A₁B₁M₁ по третьему признаку равенства треугольников.

5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: △MAB=△M₁A₁B₁.

6. Так как точка M лежит на отрезке AC, то △MAB совпадает с △CAB. Аналогично △M₁A₁B₁ совпадает с △C₁A₁B₁. Следовательно, △CAB=△C₁A₁B₁.

7. Теперь рассмотрим △ABC и △A₁B₁C₁:

• AB=A₁B₁ (дано);
• AC=A₁C₁ (дано);
• △BAC=△B₁A₁C₁ (доказано в п. 6).

8. Следовательно, △ABC=△A₁B₁C₁ по первому признаку равенства треугольников.

Проверка.

Логика цепочки выстроена верно: сначала через равенство половин сторон и данных медиан доказываем равенство вспомогательных треугольников, находим угол при вершине A, а затем применяем первый признак к основным треугольникам. Все шаги опираются на аксиомы и признаки равенства треугольников, изучаемые в курсе геометрии 7 класса. Ошибок в рассуждениях нет.