ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 144: 20. Третий признак равенства треугольников

План решения.

Сначала докажем равенство треугольников ABC и CDA по третьему признаку (по трём сторонам), чтобы установить равенство соответствующих углов. Затем, используя свойства биссектрис, выразим искомые углы ∠ABE и ∠ADF. Наконец, для доказательства равенства треугольников ABE и CDF найдём три пары равных элементов: сторону, прилежащий угол и ещё один угол или сторону, опираясь на ранее полученные результаты.

Вычисление и доказательство.

а) Рассмотрим △ABC и △CDA. По условию дано: AB=CD, BC=AD. Сторона AC является общей для обоих треугольников. Следовательно, △ABC=△CDA по третьему признаку равенства треугольников (три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого). Из равенства этих треугольников следует равенство соответственных углов: ∠ABC=∠CDA (или ∠ADC).

Так как BE — биссектриса угла ABC, то ∠ABE=1/2∠ABC. Так как DF — биссектриса угла ADC, то ∠ADF=1/2∠ADC. Поскольку ∠ABC=∠ADC, то их половины также равны: ∠ABE=∠ADF Что и требовалось доказать в пункте а).

б) Теперь рассмотрим △ABE и △CDF. 1. По условию задачи AB=CD. 2. Из пункта а) мы уже доказали, что ∠ABE=∠CDF (так как ∠CDF — это часть угла ADC, обозначаемая как ∠ADF в контексте вершины D, но в треугольнике CDF используется угол при вершине D, который равен ∠ADF). *Примечание: В стандартной записи для треугольника CDF угол при вершине D обозначается как ∠CDF. Так как DF — биссектриса, ∠CDF=∠ADF. Мы доказали ∠ABE=∠ADF, значит ∠ABE=∠CDF.* 3. Нам нужно найти ещё один элемент. Вернёмся к равенству △ABC=△CDA. Из него следует равенство других соответственных углов: ∠BAC=∠DCA. Однако нам нужны углы внутри треугольников ABE и CDF. Угол ∠BAE совпадает с углом ∠BAC (если точка E лежит на стороне AC или её продолжении, что обычно подразумевается в таких задачах про параллелограммы/четырехугольники, где диагональ AC делит его на два треугольника). Аналогично, угол ∠DCF совпадает с углом ∠DCA. Таким образом, ∠BAE=∠DCF. Итак, в △ABE и △CDF: - AB=CD (дано); - ∠ABE=∠CDF (доказано в п. а); - ∠BAE=∠DCF (следует из равенства △ABC=△CDA). Треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). △ABE=△CDF Что и требовалось доказать в пункте б).

Проверка.

Логика построена верно: сначала через равенство больших треугольников (ABC и CDA) получаем равенство углов всего четырехугольника и диагональных углов. Биссектрисы делят равные углы на равные части, что дает первый признак для малых треугольников. Равенство углов при основании диагонали дает второй признак. Все шаги обоснованы аксиомами и теоремами геометрии 7 класса.