ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 149: Примеры задач на построение
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Даны два диаметра AB и CD окружности. Доказать свойства хорд
а) BD=AC
б) AD=BC
в) ∠BAD = ∠BCD.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных углов и равенством радиусов окружности. Пусть O — центр окружности, тогда OA=OB=OC=OD=R. Углы △AOC и △BOD являются вертикальными, следовательно, они равны: nangleAOC=nangleBOD. Аналогично, вертикальные углы nangleAOD и nangleBOC также равны между собой.
а) Докажем, что BD=AC. Рассмотрим треугольники △AOC и △BOD. В них: 1) OA=OB (радиусы); 2) OC=OD (радиусы); 3) nangleAOC=nangleBOD (вертикальные углы). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), △AOC=△BOD. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть хорды AC=BD.
б) Докажем, что AD=BC. Рассмотрим треугольники △AOD и △BOC. В них: 1) OA=OB (радиусы); 2) OD=OC (радиусы); 3) nangleAOD=nangleBOC (вертикальные углы). По первому признаку равенства треугольников, △AOD=△BOC. Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны, то есть хорда AD равна хорде BC.
в) Докажем, что nangleBAD=nangleBCD. Из пункта б) мы уже установили, что △AOD=△BOC. Однако для доказательства равенства углов nangleBAD и nangleBCD удобнее рассмотреть треугольники △ABD и △CDB. Стороны этих треугольников: 1) AB=CD (так как это диаметры одной окружности); 2) BD=AC (доказано в пункте а)); 3) AD=BC (доказано в пункте б)). По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), △ABD=△CDB. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Угол nangleBAD лежит против стороны BD, а угол nangleBCD лежит против стороны BD в другом треугольнике? Нет, давайте посмотрим внимательнее на соответствие вершин при равенстве △ABD=△CDB. Вершина A соответствует вершине C, вершина B соответствует вершине D, вершина D соответствует вершине B. Тогда угол nangleDAB (он же nangleBAD) соответствует углу nangleBCD (угол при вершине C). Следовательно, nangleBAD=nangleBCD.
а) BD=AC
б) AD=BC
в) nangleBAD=nangleBCD
Задача решается через доказательство равенства треугольников, образованных центром окружности и концами диаметров. Для пункта в) используется следствие из равенства треугольников ABD и CDB, которое опирается на результаты пунктов а) и б).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 149 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 149?
Краткий ответ: а) BD = AC б) AD = BC в) BAD = BCD.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 23. Примеры задач на построение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.