ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 152: Примеры задач на построение

План решения.

Чтобы доказать равенство хорд AB и AC, воспользуемся свойством: в одной окружности равным центральным углам соответствуют равные хорды. Нам нужно найти величину центрального угла ∠AOC и сравнить его с углом ∠AOB. Также учтём, что BC — диаметр, значит, точка O лежит на отрезке BC, а угол ∠BOC является развёрнутым (180^°).

Вычисление и доказательство.

По условию задачи дано, что ∠AOB=90^°. Так как BC — диаметр окружности с центром O, то точки B, O и C лежат на одной прямой. Следовательно, лучи OB и OC являются дополнительными друг к другу относительно центра O.

Рассмотрим углы при центре O. Угол ∠AOC и угол ∠AOB смежные (так как B,O,C на одной прямой). Поэтому их сумма равна 180^°: ∠AOC+∠AOB=180^° Подставим известное значение ∠AOB=90^°: ∠AOC+90^°=180^° Отсюда находим: ∠AOC=180^°-90^°=90^°

Таким образом, мы получили, что ∠AOC=90^° и ∠AOB=90^°. Значит, ∠AOC=∠AOB.

В одной и той же окружности равные центральные углы опираются на равные хорды. Поскольку ∠AOB опирается на хорду AB, а ∠AOC опирается на хорду AC, то эти хорды равны между собой:

Что и требовалось доказать.

Проверка.

Логика верна: если один из углов при центре прямой, а вторая сторона этого угла проходит через центр (является частью диаметра), то второй угол также будет прямым, так как они дополняют друг друга до 180^°. Равенство углов гарантирует равенство соответствующих им хорд. Геометрическая конфигурация не противоречит условиям задачи.