ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 155: Примеры задач на построение
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Даны окружность, точка A вне её и отрезок PQ. Построить на окружности точку M так, чтобы AM=PQ. Всегда ли возможно решение?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Задача сводится к нахождению пересечения двух геометрических объектов: данной окружности и окружности с центром в точке A радиуса PQ. Если эти две окружности имеют общие точки, то любая из них может быть искомой точкой M. Для построения нам понадобятся циркуль и линейка. Сначала мы перенесём длину отрезка PQ на циркуль, затем проведём вспомогательную окружность с центром в A, и найдём точки её пересечения с исходной окружностью.
Ход построения.
- Установим раствор циркуля равным длине заданного отрезка PQ. Для этого поставим остриё циркуля в точку P, а карандаш — в точку Q (или наоборот).
- Не меняя раствора циркуля, поставим его остриё в данную точку A и проведём окружность. Обозначим эту новую окружность как β. Её радиус равен Rβ=PQ.
- Рассмотрим взаимное расположение исходной окружности (назовём её θ) и построенной окружности β.
- Если окружности θ и β пересекаются, отметим все точки их пересечения. Каждая такая точка является искомым решением M.
Анализ условий существования решения.
Всегда ли возможно решение? Нет, не всегда. Возможность построения зависит от соотношения между расстоянием от центра исходной окружности до точки A, радиусом исходной окружности (r) и длиной отрезка PQ (d).
- Пусть O — центр исходной окружности, OA — расстояние от центра до точки A.
- Точка M должна лежать на исходной окружности, значит, OM=r.
- Точка M также должна лежать на вспомогательной окружности β, значит, AM=d.
- Существует треугольник OMA (возможно, вырожденный), стороны которого равны r, d и OA. По неравенству треугольника, такие три числа могут образовывать треугольник только если сумма любых двух из них больше третьей.
Более наглядно это можно описать через диапазон возможных длин отрезков, соединяющих точку A с точками исходной окружности:
- Минимальная длина такого отрезка равна OA-r (если A вне окружности).
- Максимальная длина такого отрезка равна OA+r.
Таким образом, решение существует тогда и только тогда, когда выполняется двойное неравенство: OA-r≤PQ≤OA+r Если PQ<OA-r, то окружность β лежит целиком внутри исходной окружности θ и не касается её. Если PQ>OA+r, то окружность β лежит целиком снаружи исходной окружности θ и не касается её. В этих случаях точек пересечения нет, и задача неразрешима.
а) Построить окружность с центром A и радиусом PQ.
б) Точки пересечения этой окружности с данной являются искомыми точками M. в) Решение существует не всегда; оно возможно при условии OA-r≤PQ≤OA+r, где O — центр данной окружности, r — её радиус.
Задача классическая на построение методом пересечения окружностей. Важно подчеркнуть анализ условий существования, так как вопрос 'Всегда ли возможно?' требует ответа 'Нет' с обоснованием.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 155 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 155?
Краткий ответ: а) Построить окружность с центром A и радиусом PQ. б) Точки пересечения этой окружности с данной являются искомыми точками M. в) Решение существует не всегда; оно возможно при условии OA - r PQ OA + r, где O — центр данной окружности, r — её радиус.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 23. Примеры задач на построение.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.