ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 158: Примеры задач на построение

План решения:

Чтобы построить прямую, проходящую через точку M и перпендикулярную данной прямой a, воспользуемся свойством симметрии. Если мы построим две точки на прямой a, равноудаленные от точки M, то прямая, соединяющая эти две точки (то есть сама прямая a), будет являться серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему проекцию M на a. Однако более стандартный школьный метод заключается в следующем: сначала опускаем перпендикуляр из точки M на прямую a, находя основание перпендикуляра, а затем проводим искомую прямую через M и это основание.

Пошаговое вычисление и построение:

1. Выбираем произвольную точку K на прямой a так, чтобы она не совпадала с проекцией M (на глаз).
2. Строим окружность с центром в точке K и радиусом KM. Эта окружность пересекает прямую a в двух точках. Обозначим одну из точек пересечения как P₁, а вторую — как P₂. Теперь у нас есть два треугольника △MKP₁ и △MKP₂, которые являются равнобедренными (KP₁=KP₂=KM).
3. Теперь нам нужно найти середину отрезка P₁P₂. Для этого строим окружности с центрами в P₁ и P₂ одинакового радиуса R, где R>1/2P₁P₂. Эти окружности пересекаются в двух точках. Назовем их Q₁ и Q₂.
4. Прямая, проходящая через точки Q₁ и Q₂, является серединным перпендикуляром к отрезку P₁P₂. Поскольку P₁ и P₂ лежат на прямой a, эта новая прямая перпендикулярна a. Пусть точка пересечения этой прямой с a обозначается как H.
5. Так как точка M также равноудалена от P₁ и P₂ (по построению шага 2), она лежит на том же самом геометрическом месте точек, равноудаленных от концов отрезка P₁P₂. Следовательно, точка M лежит на прямой Q₁Q₂.
6. Итак, прямая MH проходит через точку M и перпендикулярна прямой a. Это и есть искомая прямая.

Проверка:

Рассмотрим треугольники △MP₁H и △MP₂H. По построению MP₁=MP₂ (радиусы одной окружности), сторона MH общая, а P₁H=HP₂ (так как H — середина хорды P₁P₂, опущенной из центра K... wait, correction in logic for standard construction). Let's refine the check based on the most common textbook method which is simpler: Dropping a perpendicular using compass and straightedge directly.

Alternative simpler construction often taught in grade 7-8:

1. Take any point A on line a such that MA is not perpendicular to a.
2. Draw circle with center A and radius AM. It intersects line a at another point B.
3. Now we have isosceles triangle MAB with base AB lying on line a.
4. The altitude from vertex M to base AB is also the median and angle bisector.
5. To construct this altitude, find the midpoint of segment AB. Let's call it C. To find midpoint C: draw circles centered at A and B with equal radii greater than half AB. They intersect at two points. The line connecting these intersection points passes through C and is perpendicular to AB (and thus to a).
6. Wait, the line connecting the intersections of circles centered at A and B is the perpendicular bisector of AB. Does it pass through M? No, only if MA=MB. In step 2, we made MA=MB by drawing circle center A radius AM intersecting line a at B. So yes, triangle MAB is isosceles with MA=MB.
7. Therefore, the perpendicular bisector of the base AB passes through the vertex M.
8. So, constructing the perpendicular bisector of segment AB gives us the line passing through M and perpendicular to a.

This confirms the validity. The constructed line contains M and forms a right angle with a because it is the axis of symmetry of the isosceles triangle MAB.