ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 157: Примеры задач на построение

План решения.

Нам дан тупой угол ∠AOB. Нужно построить луч OX, исходящий из вершины O, такой, чтобы углы ∠XOA и ∠XOB были равны между собой и оба являлись тупыми. Поскольку сумма углов вокруг точки O равна 360^°, а исходный угол ∠AOB уже является тупым (больше 90^°), то оставшаяся часть плоскости составляет меньше 270^°. Если мы разделим эту оставшуюся часть пополам лучом OX, то получим два угла, которые в сумме с ∠AOB дадут полный оборот. Однако более простой геометрический подход: если луч OX будет биссектрисой вертикального к углу ∠AOB угла, или же продолжением биссектрисы самого угла ∠AOB в противоположную сторону, то углы ∠XOA и ∠XOB будут смежными с половинками исходного угла? Нет, давайте рассмотрим симметрию. Луч OX должен лежать на прямой, перпендикулярной биссектрисе угла AOB? Или проще: пусть OM — биссектриса угла AOB. Тогда ∠AOM=∠MOB=1/2∠AOB. Если продолжить OM до луча OX (то есть X лежит на прямой OM по другую сторону от O), то ∠XOA=180^°-∠AOM и ∠XOB=180^°-∠MOB. Так как ∠AOM=∠MOB, то и ∠XOA=∠XOB. Проверим, являются ли они тупыми. Так как ∠AOB тупой, то его половина 1/2∠AOB<90^°. Следовательно, 180^°-1/2∠AOB>90^°. Значит, углы действительно тупые. Таким образом, искомый луч OX — это продолжение биссектрисы угла AOB за вершину O.

Ход построения и вычисление.

1. Строим биссектрису OM данного тупого угла ∠AOB. Для этого проводим дугу окружности с центром в точке O, пересекающую стороны угла в точках A′ и B′. Затем строим две дуги одинакового радиуса с центрами в A′ и B′, которые пересекаются в некоторой точке M. Проводим луч OM.
2. Продолжаем луч OM за точку O до получения луча OX. Теперь точка X лежит на прямой MO так, что O находится между M и X.
3. Рассмотрим полученные углы. По построению ∠AOM=∠MOB=α. Тогда ∠XOA и ∠AOM — смежные углы, поэтому ∠XOA=180^°-α. Аналогично, ∠XOB и ∠MOB — смежные углы, поэтому ∠XOB=180^°-α.
4. Следовательно, ∠XOA=∠XOB.

Проверка условия «тупые».

По условию задачи угол ∠AOB является тупым, то есть 90^°<∠AOB<180^°. Обозначим ∠AOB=2α. Тогда 45^°<α<90^°. Мы нашли, что искомые углы равны 180^°-α. Подставим границы для α: если α>45^°, то 180^°-α<135^°. Если α<90^°, то 180^°-α>90^°. Таким образом, величина углов ∠XOA и ∠XOB заключена в диапазоне (90^°;135^°), что полностью удовлетворяет определению тупого угла. Построение верно.