ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 159: Примеры задач на построение

В данной задаче требуется выполнить три классических геометрических построения с помощью циркуля и линейки для произвольного треугольника ABC. Каждое построение опирается на базовые алгоритмы: деление угла пополам, нахождение середины отрезка и проведение перпендикуляра к прямой.

а) Построение биссектрисы AK

1. Ставим острие циркуля в вершину A и проводим дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекала стороны AB и AC в точках M и N соответственно.
2. Не меняя раствора циркуля (или выбрав новый удобный радиус), ставим острие в точку M и проводим дугу внутри угла A.
3. Аналогично ставим острие в точку N и проводим вторую дугу до пересечения с первой. Точку пересечения обозначим P.
4. Проводим луч AP, который является биссектрисой угла A. Точка пересечения этого луча со стороной BC будет искомой точкой K. Отрезок AK — искомая биссектриса.

б) Построение медианы BM

1. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны. Нам нужно найти середину стороны AC.
2. Ставим острие циркуля в точку A и проводим дуги радиусом, большим половины длины AC, выше и ниже отрезка AC.
3. Не меняя радиуса, ставим острие в точку C и проводим аналогичные дуги до пересечения с предыдущими. Получаем две точки пересечения дуг.
4. Проводим прямую через эти две точки пересечения. Эта прямая является серединным перпендикуляром к AC и пересекает AC в её середине. Обозначим эту точку M.
5. Соединяем вершину B с найденной серединой M. Отрезок BM — искомая медиана.

в) Построение высоты CH

1. Высота опускается из вершины перпендикулярно к прямой, содержащей противоположную сторону. В данном случае из вершины C к стороне AB.
2. Ставим острие циркуля в точку C и проводим дугу достаточно большого радиуса так, чтобы она пересекала прямую AB (или её продолжение) в двух точках. Назовём их D и E.
3. Теперь строим серединный перпендикуляр к отрезку DE. Для этого ставим острие циркуля в точку D и проводим дугу радиусом, большим половины DE.
4. Не меняя радиуса, ставим острие в точку E и проводим дугу до пересечения с предыдущей. Пусть точка пересечения будет F.
5. Проводим прямую CF. Она перпендикулярна AB. Точка пересечения этой прямой со стороной AB (или её продолжением) есть основание высоты H. Отрезок CH — искомая высота.

Проверка правильности построений осуществляется визуально или с помощью транспортиктора/линейки: биссектриса должна делить угол A на два равных угла; медиана должна делить сторону AC на два равных отрезка (AM=MC); высота должна образовывать прямой угол (90^°) со стороной AB.