ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 156: Примеры задач на построение

План решения.

Чтобы построить угол, равный удвоенному данному острому углу ∠BAC, нужно последовательно отложить этот угол дважды от луча XY. Сначала построим угол, равный ∠BAC, с вершиной в точке X и одной из сторон на луче XY. Затем от полученной новой стороны снова отложим угол, равный ∠BAC. Итоговый угол между исходным лучом XY и последней построенной стороной будет равен 2∠BAC.

Пошаговое вычисление (построение).

1. Проведём дугу окружности с центром в точке A произвольного радиуса так, чтобы она пересекала стороны угла BAC в точках M и N.
2. С тем же радиусом проведём дугу с центром в точке X, пересекающую луч XY в точке P.
3. Измерим циркулем расстояние между точками M и N.
4. Отложим это расстояние на дуге с центром X от точки P до точки Q. Проведём луч XQ. Теперь ∠YXQ=∠BAC.
5. Для получения удвоенного угла повторим процедуру: проведём дугу с центром X через точку Q (или используем ту же дугу). Отложим на ней хорду, равную MN, от точки Q в сторону, противоположную лучу XY, до точки R.
6. Проведём луч XR. Угол ∠YXR является искомым углом YXZ, где точка Z лежит на луче XR.

Проверка.

По построению треугольники, образованные центрами дуг и концами хорд, равны по трём сторонам (SSS), следовательно, соответствующие углы при вершинах равны. Первый отложенный угол равен ∠BAC, второй также равен ∠BAC. Суммарно ∠YXZ=∠YXQ+∠QXZ=∠BAC+∠BAC=2∠BAC. Так как угол BAC острый, то 2∠BAC<180^°, что позволяет корректно построить такой угол без пересечения сторон в нежелательных областях.