ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 147

План решения.

Для доказательства равенства углов ∠ADB и ∠ACB воспользуемся признаками равенства треугольников. Сначала докажем равенство треугольников ADC и BCD, опираясь на условие равнобедренности. Затем, используя свойства равных треугольников, выведем равенство соответствующих элементов. Для второй части задачи (доказательство DO=OC) рассмотрим треугольники ADO и BCO или используем симметрию фигуры относительно серединного перпендикуляра к основанию DC.

Вычисление и доказательство.

а) Докажем равенство углов ∠ADB и ∠ACB.

По условию треугольник ADC — равнобедренный с основанием DC. Это означает, что боковые стороны равны: AD=AC. Следовательно, углы при основании равны: ∠ADC=∠ACD.

Аналогично, треугольник BCD — равнобедренный с основанием DC. Значит, BD=BC, и углы при основании равны: ∠BDC=∠BCD.

Рассмотрим треугольники ADB и ACB. В них:

• AD=AC (из равнобедренности △ADC);
• BD=BC (из равнобедренности △BCD);
• AB — общая сторона.

По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) имеем △ADB=△ACB.

Из равенства треугольников следует равенство соответственных углов. Угол ∠ADB в треугольнике ADB соответствует углу ∠ACB в треугольнике ACB. Таким образом, ∠ADB=∠ACB.

б) Докажем равенство отрезков DO и OC.

Вернёмся к исходным данным. Так как AD=AC и BD=BC, то точки A и B равноудалены от концов отрезка DC. Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.

Следовательно, прямая AB является серединным перпендикуляром к отрезку DC.

По определению, серединный перпендикуляр пересекает отрезок в его середине. Точка пересечения прямой AB и отрезка CD обозначена как O. Значит, точка O является серединой отрезка CD.

Отсюда непосредственно следует, что DO=OC.

Проверка.

Логика построения верна: мы использовали только данные о равнобедренности треугольников и общие свойства геометрических фигур. Равенство сторон AD=AC и BD=BC гарантирует симметрию всей конструкции относительно прямой, проходящей через вершины A и B. Эта симметрия обеспечивает равенство углов ∠ADB и ∠ACB и делит основание DC пополам точкой O. Противоречий не обнаружено.