ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 143: 20. Третий признак равенства треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Дмитрий Орлов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
По рисунку 81 дано: AB=CD и BD=AC. Доказать равенство углов
а) ∠CAD = ∠ADB
б) ∠BAC = ∠CDB.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся третьим признаком равенства треугольников (по трём сторонам). Нам даны две пары равных отрезков: AB=CD и BD=AC. Чтобы применить признак, нужно найти общий элемент в рассматриваемых треугольниках.
Рассмотрим треугольники △ABD и △DCA. В них:
- AB=CD (по условию);
- BD=AC (по условию);
- AD=DA — общая сторона.
Следовательно, △ABD=△DCA по трём сторонам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов.
а) Докажем равенство ∠CAD=∠ADB.
В равных треугольниках △ABD и △DCA угол ∠ADB лежит против стороны AB, а угол ∠CAD (он же ∠DAC) лежит против стороны CD. Так как AB=CD, то эти углы являются соответственными. Следовательно, ∠CAD=∠ADB.
б) Докажем равенство ∠BAC=∠CDB.
Здесь нам нужно рассмотреть другие пары углов или использовать свойства параллелограмма, если он подразумевается, но строго через признаки равенства треугольников проще всего так:
Из равенства △ABD=△DCA мы также имеем равенство углов при основании общей стороны: ∠BAD=∠CDA и ∠BDA=∠CAD (что уже доказано в пункте а).
Однако для доказательства ∠BAC=∠CDB удобнее рассмотреть треугольники △ABC и △DCB.
- AB=CD (по условию);
- AC=DB (по условию, так как BD=AC);
- BC=CB — общая сторона.
Значит, △ABC=△DCB по трём сторонам.
В этих равных треугольниках угол ∠BAC лежит против стороны BC, а угол ∠CDB (он же ∠BDC) лежит против стороны CB. Поскольку BC=CB, эти углы являются соответственными. Следовательно, ∠BAC=∠CDB.
а) △ABD=△DCA по трём сторонам (AB=CD,BD=AC,AD — общая), значит ∠CAD=∠ADB.
б) △ABC=△DCB по трём сторонам (AB=CD,AC=DB,BC — общая), значит ∠BAC=∠CDB.
Задача решается двумя способами через разные пары треугольников. Для пункта а) используются треугольники ABD и DCA с общей стороной AD. Для пункта б) используются треугольники ABC и DCB с общей стороной BC. Это стандартный подход для задач на четвертый признак параллельности или свойств параллелограмма, где диагонали делят фигуру на равные треугольники.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 143 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 143?
Краткий ответ: а) ABD = DCA по трём сторонам (AB=CD, BD=AC, AD — общая), значит CAD = ADB. б) ABC = DCB по трём сторонам (AB=CD, AC=DB, BC — общая), значит BAC = CDB.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 20. Третий признак равенства треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.