ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 146

План решения.

Чтобы доказать равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁, нам нужно найти достаточное количество равных элементов (сторон или углов). В условии даны равенства отрезков, которые являются частями этих треугольников: AB=A₁B₁, BD=B₁D₁ и биссектрисы AD=A₁D₁. Заметим, что эти три пары равных отрезков образуют два новых треугольника: ABD и A₁B₁D₁. Если мы докажем их равенство, то сможем получить равенство соответствующих углов, что поможет нам вернуться к исходным треугольникам.

Ход доказательства.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. По условию задачи:

• AB=A₁B₁;
• BD=B₁D₁;
• AD=A₁D₁.

Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответственных углов. В частности, угол при вершине B в первом треугольнике равен углу при вершине B₁ во втором: ∠ABD=∠A₁B₁D_1. Поскольку точки D и D₁ лежат на сторонах BC и B₁C₁ соответственно (так как AD и A₁D₁ — биссектрисы), то угол ∠ABD совпадает с углом ∠ABC, а угол ∠A₁B₁D₁ совпадает с углом ∠A₁B₁C₁. Таким образом, мы доказали, что ∠ABC=∠A₁B₁C_1.

Теперь вернёмся к исходным треугольникам ABC и A₁B₁C₁. У нас есть следующие данные:

1. AB=A₁B₁ (дано в условии);
2. ∠ABC=∠A₁B₁C₁ (доказано выше);
3. Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы, то они делят углы A и A₁ пополам. Из равенства треугольников ABD и A₁B₁D₁ также следует равенство углов ∠BAD=∠B₁A₁D₁. Следовательно, целые углы тоже равны: ∠BAC=2∠BAD=2∠B₁A₁D₁=∠B₁A₁C_1.

Итак, в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны сторона AB=A₁B₁ и прилежащие к ней углы ∠ABC=∠A₁B₁C₁ и ∠BAC=∠B₁A₁C₁. Значит, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Проверка.

Логическая цепочка не нарушена: сначала через вспомогательные треугольники (ABD и A₁B₁D₁) установлены равенства углов, затем эти углы использованы для доказательства равенства основных треугольников (ABC и A₁B₁C₁). Все признаки равенства применены корректно.