ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 135: 20. Третий признак равенства треугольников

План решения.

Для доказательства равенства треугольников △BCO и △B₁C₁O₁ (пункт б) воспользуемся вторым признаком равенства треугольников. Для доказательства равенства треугольников △ACO и △A₁C₁O₁ (пункт а) сначала установим равенство соответствующих сторон больших треугольников ABC и A₁B₁C₁, используя первый признак равенства, а затем применим третий признак равенства треугольников к меньшим треугольникам.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим пункт б) . В треугольниках BCO и B₁C₁O₁:

• BC=B₁C₁ по условию;
• ∠B=∠B₁ по условию;
• ∠C=∠C₁ по условию (так как углы при вершинах C и C₁ в исходных треугольниках совпадают с углами в рассматриваемых треугольниках).

Следовательно, △BCO=△B₁C₁O₁ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из этого равенства следует, что соответствующие стороны равны: BO=B₁O₁ и CO=C₁O₁.

Теперь перейдем к пункту а) . Сначала докажем равенство исходных треугольников ABC и A₁B₁C₁. У нас есть:

• BC=B₁C₁ по условию;
• ∠B=∠B₁ по условию;
• ∠C=∠C₁ по условию.

Значит, △ABC=△A₁B₁C₁ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда следует равенство соответствующих сторон: AC=A₁C₁ и AB=A₁B₁.

Так как CO и C₁O₁ — медианы, то точка O делит сторону AB пополам, а точка O₁ делит сторону A₁B₁ пополам. То есть AO=1/2AB и A₁O₁=1/2A₁B₁. Поскольку AB=A₁B₁, то AO=A₁O₁.

Рассмотрим теперь треугольники ACO и A₁C₁O₁. В них:

• AC=A₁C₁ (доказано выше);
• AO=A₁O₁ (доказано выше);
• CO=C₁O₁ (следует из равенства △BCO=△B₁C₁O₁, доказанного в пункте б).

Следовательно, △ACO=△A₁C₁O₁ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Проверка.

Логика построена верно: сначала через равенство больших треугольников или непосредственно через признаки для малых получаем равенство элементов. Пункт б) решается напрямую по второму признаку. Пункт а) требует знания всех трех пар сторон. Равенство CO=C₁O₁ взято из пункта б), равенство AC=A₁C₁ и AO=A₁O₁ выведено из равенства исходных треугольников ABC и A₁B₁C₁. Все условия задачи использованы корректно.